Oppsummering av regneregler for potenser

Oppsummering av regneregler for potenser

For vilkårlige tall (hvilke som helst tall) $a$ og $b$ , og naturlige tall (heltall større enn 0) $m$  og $n$ gjelder

Vi kan også lage en potens der grunntallet er en sum, for eksempel ${\left(x+2\right)}^2$. I slike tilfeller bruker vi for eksempel kvadratsetningene som presenteres i algebrakurset. For høyere potenser av summer trenger vi noe som kalles binomialkoeffisientene.

Eksempel 1.

Vi vil regne ut ${\left(\frac{2^3}{2}\right)}^2$ .

Løsningen kan finnes på flere måter, for eksempel slik:

${\left(\frac{2^3}{2}\right)}^2={\left(\frac{2^3}{2^1}\right)}^2={\left(2^{3-1}\right)}^2={\left(2^2\right)}^2=2^{2\cdot 2}=2^4=16$
 
Bruk reglene over til å finne to andre måter å regne ut uttrykket på.

 

Eksempel 2.

Regn ut

$\frac{2^3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}}{9}+{\left(2^3\right)}^{-1}\cdot 8$
Vi gjør først om tallene 8 og 9 til potenser:

$\frac{2^3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}}{9}+{\left(2^3\right)}^{-1}\cdot 2^3=\frac{2^3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}}{3^2}+{\left(2^3\right)}^{-1}\cdot 2^3$
Vi løser ut de to parentesene:

 $\frac{2^3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}}{3^2}+{\left(2^3\right)}^{-1}\cdot 2^3=\frac{2^3\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^3}{3^2}+2^{-3}\cdot 2^3$ 

 $=\frac{2^3\cdot \frac{3^3}{2^3}}{3^2}+2^{-3}\cdot 2^3$ 

     
Nå bruker vi reglene for produkt og divisjon av potenser:

$\frac{2^3\cdot \frac{3^3}{2^3}}{3^2}+2^{-3}\cdot 2^3=2^{3-3}\cdot 3^{3-2}+2^{-3+3}=1\cdot 3+1=4$

Konklusjonen er at  $\frac{2^3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}}{9}+{\left(2^3\right)}^{-1}\cdot 8=4$.
En alternativ måte å regne dette ut på er

$\frac{2^3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}}{9}+{\left(2^3\right)}^{-1}\cdot 8=\frac{2^3\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^3}{9}+\frac{2^3}{2^3}=\frac{8\cdot \frac{27}{8}}{9}+1=3+1=4$

Eksempel 3.

Store Tall

Solas radius er $6,96\cdot {10}^{8}m$, og solas volum er $1.412\cdot {10}^{27}{m}^3$. Jordas radius er 6371 kilometer og jordas volum er $1,083\cdot {10}^{21}$ kubikkmeter.
•    Hvor mange jordkloder kan plasseres langs solas diameter?
•    Hvor mange jordkloder tilsvarer plassen inne i sola?

For å finne antall jordkloder som får plass langs solas diameter, må vi dele solas diameter på jordas diameter (husk at diameteren er lik to ganger radien). Vi vet at 1 km = 1000 m, og får

 $\frac{2\cdot 6,96\cdot {10}^8}{2\cdot 6371\cdot {10}^3}=\frac{6,96\cdot {10}^8}{6,371\cdot {10}^3\cdot {10}^3}$ 

 $=\frac{6,96\cdot {10}^8}{6,371\cdot {10}^6}=\frac{6,96}{6,371}\cdot {10}^{8-6}$ 

 $\approx 1,09\cdot {10}^2=109$ 

Vi ser at det går ca. 109 jordkloder på en soldiameter.

Deretter finner vi hvor mange jordkloder som tilsvarer plassen inne i sola ved å dele solas volum på jordas volum:

$\frac{1,412\cdot {10}^{27}}{1,083\cdot {10}^{21}}=\frac{1,412}{1,083}\cdot {10}^{27-21}=1,3038\cdot {10}^6\approx 1300000$

Vi ser solas volum er like stort som cirka 1,3 millioner jordkloder!