Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Kvadratrøtter

Hva er en kvadratrot?

Tenk på et kvadrat med areal 9 cm2. Arealformelen til et kvadrat A med sider av lengde s cm, er 

s opphøyd i annen potens. Dette gir nettopp arealet i cm2:

Siden 9=32, forstår vi at kvadratet har sidelengde 3 cm. Det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 9, kaller vi kvadratroten av 9. Vi skriver

9=3. 
Vi ser at sidelengden s er gitt som kvadratroten av arealet:

s=A⁢, når  s2=A.

 

Definisjon
Anta at a≥0. Da er a (kvadratrota av  a) det positive tallet som opphøyd i andre potens er lik a.


Definisjonen legger dermed to krav på kvadratrota av a. For det første er (a)2=a og a≥0 . Med ord betyr dette at kvadratroten til et tall multiplisert med seg selv er lik tallet under kvadratroten. Det andre kravet er at kvadratroten til tallet må være større eller lik 0. Nå skal vi se et eksempel på hva dette medfører.

 

Eksempel 1.

Finn kvadratroten av 4.

Nå er a=4 og vi får a=4=2 .

Vi ser at resultatet oppfyller kravene i definisjonen, siden 22=4  og 2>0. Vi vet at også

(−2)⋅(−2)=(−2)2=4.

Vi kaller likevel ikke −2 for kvadratroten av 4. Det negative tallet oppfyller ikke definisjonen av en kvadratrot, siden −2<0.

Legg ellers merke til at vi kun har definert kvadratrota av tall som er større enn eller lik null (a≥0). Vi kan ikke finne kvadratrøtter av negative tall, fordi ingen reelle tall multiplisert med seg selv gir et negativt produkt.

 

Eksempel 2.

Løs likningen x2−4=0.

Vi legger til 4 på begge sider av likhetstegnet og trekker sammen like ledd:

x2−4+4=0+4
x2=4

Vi ser at 4=2 er en løsning. Men også (−2)2=4 . Begge verdiene for x stemmer i likningen, og dermed er både 2 og −2 løsninger av denne.


Hvis vi fortsetter å løse likningen skritt for skritt, ville vi ha tatt kvadratroten på begge sider og skrevet følgende

 x=±4 

På denne måten vil vi få begge løsningene, fordi ± står for + og −.

x=±4=±2.

Vi bruker tegnet ± for å markere de to løsningene.

Likningen x2=4 har løsningene x=±2, som er en kortere måte å skrive x=2 og x=−2.

Del på Facebook

Del på Facebook

Lynkurs, 8.-10.trinn

Potenser

Består av:

Begrep

  • Areal

    Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
    Noen måleenheter for areal er m2, dm2 og cm2.

  • Brøk

    Brøk

    Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

    Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

  • Faktorisering

    Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

    Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

    Se også primtallsfaktorisering

  • Kvadrat

    Kvadrat

    En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.

  • Kvadratrot

    Kvadratrot har symbolet .

    Kvadratroten av et tall a er et tall b, som multiplisert med seg selv gir a.

    Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er 4, fordi 4⋅4=16. Det skrives 16=4.

  • Kvadrattall

    Et kvadrattall er det positive heltallet som vi får når et heltall multipliserers med seg selv.

    Eksempel: 25 er et kvadrattall, fordi 5⋅5=25

  • Kvotient

    Resultatet av en divisjon kalles en kvotient.

    Eksempel: 32:8=4, her er 4 en kvotient.

  • Ligning

    En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

    Eksempel: 2x+8=14

  • Likhetstegn

    Likhetsteget har symbolet "=".

    Likhetstegnet forteller at det som står til venstre for likhetstegnet har samme verdi som det som står til høyre.

    Eksempel: 6+4=5⋅2

  • Naturlige tall

    De positive heltallene 1, 2, 3, 4...

    Mengden av naturlige tall angis med symbolet ℕ.

    Hvis 0 skal være med i mengden bruker vi symbolet ℕ0.

  • Negative tall

    Tall som er mindre enn null, kalles negative tall. Vi viser at tallet er negativt ved å sette — foran tallet.

    Eksempel: −3, som leses minus tre.

  • Nevner

    Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
    Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

    Eksempel : 37. Tallet 7 er nevneren.

  • Positive tall

    Tall som er større enn null kalles positive tall.

    Eksempel: 1, 78, 435.

  • Potens

    En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen xn, som leses x opphøyd i n-te.

    Eksempel: 43=4⋅4⋅4

  • Produkt

    Produkt er et resultat av en multiplikasjon.

    Eksempel: 2 · 7 = 14

    14 er produktet, mens 2 og 7 kalles faktorer.

  • Reelle tall

    Tall som kan markeres på en tallinje. Mengden av reelle tall er ℝ.

    Eksempel: Alle heltall, alle rasjonale tall og alle irrasjonale tall.

  • Rot

    Se Kvadratrot

Hopp over bunnteksten