Løs en andregradslikning.

En andregradslikning med ukjent $x$ er på formen $a{x}^2+bx+c=0$, der $a\ne 0$. Fordi $b$ og $c$ kan være lik 0, kan andregradslikninger være på andre former.

En andregradslikning kan ha maksimalt to løsninger. Noen andregradslikninger har bare én løsning, mens andre har ingen reelle løsninger.

Alle andregradslikninger kan løses samme måten som den mest generelle $a{x}^2+bx+c=0.$ Derfor ser vi først på løsningen av denne.

Løsning av  $a{x}^2+bx+c=0$

Den vanligste løsningsmetoden for den generelle andregradslikningen er abc - formelen. Til og med kalkulatorer finner løsningene sine ved hjelp av denne formelen:

 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 
Hvis du ønsker å se hvorfor denne formelen gir løsningene til en andregradslikning, se artikkelen Andregradslikninger i lynkurset Algebra. Ellers gjelder også følgende regel:

Eksempel

Løs likningen $x^2+10x-24=0.$.

Her er $a=1,b=10$ og $c=-24$. Vi setter verdiene inn i formelen.

 $x=\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4\cdot 1\cdot (-24)}}{2\cdot 1}$ 
Vi regner ut og trekker sammen.

$x=\frac{-10\pm \sqrt{100+96}}{2}$ 

$x=\frac{-10\pm 14}{2}$ 

$x=\frac{-10+14}{2}$  eller $x=\frac{-10-14}{2}$.

Da er $x=2$ eller $x=-12$. Disse er de to reelle løsningene til andregradslikningen. Hvordan kan vi være sikre på at vi har funnet de riktige løsningene? Sett inn 2 for $x$ i $x^2+10x-24$ og se at du får 0. Det tilsvarende gjør du med den andre løsningen.

Løsning av $a{x}^2=0$

Når både $b$ og $c$ er 0, får vi en likning på formen $a{x}^2=0$. Prøver vi å løse denne likningen, ser vi fort at løsningen er $x=0$. Dette er også den eneste verdien av $x$ som gjør at venstresiden av likningen er lik 0. $x=0$ er derfor eneste løsning på denne typen andregradslikninger.

Løsning av $a{x}^2+c=0$

Her skal vi se på løsninger avhengig av hva de ulike konstantene $a,b$ og $c$ er.

• $b=0$: Da er $a{x}^2=-c$ og $x^2=\frac{-c}{a}$. Denne typen andregradslikninger har to relle løsninger på formen$x=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}$.

• $a>0$ og $c>0$: Likningen har ingen reelle løsninger (kun komplekse tall), fordi tallet under rottegnet er negativt.
• $a>0$ og $c<0$: Likningen har to reelle løsninger, fordi tallet under rottegnet er positivt.
• $a<0$: Hvis $c>0$ har likningen to reelle løsninger. Hele uttrykket $\frac{-c}{a}$  være positivt for at vi skal få to løsninger på tallinja.
  
  

Løsning av $a{x}^2+bx=0$

Hvis $c=0$, er den ukjente i alle ledd i likningen. Vi faktoriserer:

$a{x}^2+bx=x(ax+b)=0$

Likningen har to løsninger, nemlig $x=0$ eller $x=\frac{-b}{a}$.

Både $x=0$ og $x=\frac{-b}{a}$ gjør at $x(ax+b)$ blir lik 0. Dette kan man alltid teste ved å sette inn løsningene for den ukjente og se at det begge sider av likningen er lik 0.