Løsning av andregradslikning

Legg merke til at likningen er en førstegradslikning hvis $a=0$.

Utledning av $abc$-formelen 

Når en andregradslikning er på den generelle formen, bruker vi $abc$-formelen for å løse denne. Men $abc$-formelen er ikke en magisk regel som gir oss et svar. $abc$-formelen kan bli utledet og det er det vi skal gjøre. Ved å bruke kvadratsetningene på en smart måte kan vi komme fram til en liten formel som kan løse andregradslikninger.

Divider med $a$ begge sider av likningen:

$a{x}^2+bx+c=0$  

$\frac{a{x}^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0$

$x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0$

Nå ordner vi likningen slik at vi kan bruke første kvadratsetning. Trekk $\frac{c}{a}$ fra begge sider av likningen. Likningen ser ut som

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

Ta en titt på første kvadratsetning på formen

$x^2+2tx+t^2={(x+t)}^2$

Tenk på $\frac{b}{a}$ som $2t$ eller $t=\frac{b}{2a}$. Legger vi til leddet $t^2=\frac{b^2}{4a^2}$ på begge sider i likningen, er venstresiden et fullstendig kvadrat:

$x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$

Uttrykket til venstre for likhetstegnet skrives om til

$x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}={(x+\frac{b}{2a})}^2$      

Uttrykket til høyre for likhetstegnet settes på en felles brøkstrek,

$\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ 

Hele likningen ser nå ut som

${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Vi tar kvadratroten på begge sider av likhetstegnet:
 
$x=\frac{-b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$      

Merk at vi må ta med både det positive og negative uttrykket og derfor står det pluss-minus like etter det siste likhetstegnet. Trekk $\frac{b}{2a}$ fra begge sider av likningen, og vi er i mål:

$x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Vi har altså funnet at $x$ kan ha maksimalt to løsninger, og de er gitt ved formelen:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Dersom uttrykket under rottegnet blir negativt, har likningen ingen reelle tall som løsning.

Eksempel

Nå skal vi først bruke metoden i utledningen, for deretter å bruke $abc$-formelen direkte.

Vi skal løse likningen $2x^2+5x-3=0$.

Likningen skrives om til

$x^2+\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$

Legg til halvparten av $\frac{5}{2}$ opphøyd i annen potens på begge sider av likningen. Dette gir oss et fullstendig kvadrat på venstresiden:

$x^2+2\cdot \frac{5}{4}x+{\left(\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{3}{2}+{\left(\frac{5}{4}\right)}^2$

Vi skriver det om til

${(x+\frac{5}{4})}^2=\frac{24+25}{16}$

Vi tar kvadratroten på begge siden av likningen:

$x+\frac{5}{4}=\pm \sqrt{\frac{49}{16}}=\pm \frac{7}{4}$

Dette gir to løsninger

$x=-\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=\frac{1}{2}$ 

 $x=-\frac{5}{4}-\frac{7}{4}=-3$ 

Likningen har altså to løsninger: x lik en halv og x lik -3.

Finne løsning ved å bruke $abc$-formelen

Nå så vi hvordan vi kan finne løsningen ved å bruke samme metode for utledningen av abc-formelen. Men siden vi allerede har $abc$-formelen, la oss bruke denne.

Andregradslikningen vår er på formen $a{x}^2+bx+c=0$ der $a=2,b=5$ og $c=-3$. Vi setter inn for a, b og c i formelen $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:

 $x=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot (-3)}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm \sqrt{25+24}}{4}=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{4}=\frac{-5\pm 7}{4}$ 

Vi får også her to løsninger:

$x=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}$

$x=\frac{-5-7}{4}=-3$

Vi har altså to metoder, og vi står fritt til å velge hvilken vi vil bruke når vi skal løse en andregradslikning.