Følger og rekker

Dette lynkurset omhandler to svært sentrale konsepter i matematikken: følger og rekker. En følge er en sekvens av objekter i en bestemt rekkefølge:

$\left\{a_1,a_2,...\right\}.$

I dette kurset vil vi være interessert i tallfølger, hvor hver $a_i$ er et tall. Tallfølger dukker stadig opp både i matematikken og verden ellers, og det er dermed er det nyttig å kunne finne formler for et vilkårlig ledd i følgen: om vi vet at det finnes en sammenheng mellom et ledd og det forrige i en følge, kan vi da finne formler som tillater oss å finne vilkårlige ledd i følgen? I dette kurset vil vi se på to slike følger, nemlig aritmetiske og geometriske følger.

I en geometrisk følge er forskjellen på et ledd og det forrige en faktor $k$:

$a_i=k\cdot a_{i-1}.$

Om vi vet at prisen på en matvare øker med en faktor på $1,10$ årlig, hva er da prisen om 10 år? For slike spørsmål er kunnskap om geometriske følger nyttig.

Om vi er gitt en følge, kan vi summere elementene og få en rekke:

$a_1+a_2+...$

En endelig rekke har endelig mange ledd, og vi skriver gjerne sn for en endelig rekke:

$s_n=a_1+...+a_n=\sum _{i=1}^n{a}_i.$

Her dukker den samme problemstillingen opp: kan vi finne formler for $s_n$? Vi skal se nærmere på aritmetiske og geometriske rekker. Til slutt skal vi se på uendelige rekker; kan vi summere uendelig mange tall og få et endelig tall tilbake? Svaret er ja, og slike rekker kalles konvergente. Et av de mest kjente uløste problemene i matematikken angår nullpunktene til funksjonen gitt ved den uendelige rekken

$\zeta \left(s\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}.$