Geometriske tallfølger

Hva er en geometrisk tallfølge?

Se på følgen $\{1,, 9, 27, . . .\} .$ Vi merker at

$\begin{matrix} a_{1} = 1 \\ a_{2} = 3 = a_{1} \cdot 3 \\ a_{3} = 9 = a_{2} \cdot 3 \end{matrix}$

altså er $a_{i} = 3 \cdot a_{i - 1} .$

DEFINISJON

En tallfølge hvor hvert ledd $a_{i}$ kan skrives som $a_{i} = k \cdot a_{i - 1}$ kalles geometriske.

$k$ kalles kvotienten til følgen.

Eksempel 1

I et land slippes det ut 1000 enheter klimagasser hvert år. Regjeringer i landet setter seg som mål om å halvere mengden hvert tiende år til de kun slipper ut 50 enheter årlig. Hvor mye slipper de ut etter 40 år?

Gassutslippet kan vi skrive som følgende geometrisk følge $\{1000, 500, 250, . . .\}$

med kvotient $k = \frac{1}{2}, hvor a_{n}$ er det årlige utslippet etter $10 (n - 1)$ år. Etter 40 år slipper de dermed ut $a_{5}$ enheter. Vi finner at $a_{5} = 62, 5$ .

TEOREM

Gitt en geometrisk følge $\{a_{n}\}$ , så er $a_{n}$ gitt ved formelen $a_{n} = k^{n - 1} a_{1} .$

Bevis

Vi skriver ut formelen direkte fra deﬁnisjonen på en geometrisk følge:

$\begin{matrix} a_{n} & = & k a_{n - 1} \\ = & k^{2} a_{n - 2} \\ = & . . . \\ = & k^{n - 1} a_{n - (n - 1)} \\ = & k^{n - 1} a_{1} \end{matrix}$

Eksempel 2

Gitt en geometrisk følge med $a_{4} = e^{2} og k = π^{- 1}$ , ﬁnn en formel for $a_{n}$ .

Vi har at $e^{2} = π^{- 3} a_{1}$ , så $a_{1} = e^{2} π^{3} .$ Dermed er $a_{n} = π^{(- n + 1)} e^{2} π^{3} = π^{- n + 4} e^{2} .$

Geometriske tallfølger

Eksempel 1

Bevis

Eksempel 2

Lynkurs 11.-13.trinn

Følger og rekker

Består av: