Geometriske tallfølger
Hva er en geometrisk tallfølge?
Se på følgen {1,,9,27,...}. Vi merker at
a1=1 a2=3=a1⋅3a3=9=a2⋅3
altså er ai=3⋅ai-1.
DEFINISJON
En tallfølge hvor hvert ledd ai kan skrives som ai=k⋅ai-1 kalles geometriske.
k kalles kvotienten til følgen.
Eksempel 1
I et land slippes det ut 1000 enheter klimagasser hvert år. Regjeringer i landet setter seg som mål om å halvere mengden hvert tiende år til de kun slipper ut 50 enheter årlig. Hvor mye slipper de ut etter 40 år?
Gassutslippet kan vi skrive som følgende geometrisk følge {1000,500,250,...}
med kvotient k=12, hvor an er det årlige utslippet etter 10(n-1) år. Etter 40 år slipper de dermed ut a5 enheter. Vi finner at a5=62,5.
TEOREM
Gitt en geometrisk følge {an}, så er an gitt ved formelen an=kn-1a1.
Bevis
Eksempel 2
Gitt en geometrisk følge med a4=e2 og k=π-1, finn en formel for an.
Vi har at e2=π-3a1, så a1=e2π3. Dermed er an=π(-n+1)e2π3=π-n+4e2.
Del på Facebook