Mer om uendelige rekker

Nå skal vi gå litt utenfor pensum for videregående skole og se på uendelige rekker som ikke er geometriske. Vi skal se på kriteriene for at disse konvergerer.

Vi vet at for hver uendelig rekke

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$

følger de to uendelige tallfølgene $\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, . . .\} og \{s_{0}, s_{1}, s_{2}, . . .\}$

Merk at det gir mening å spørre om en uendelig tallfølge er konvergent. Vi har allerede sett dette; om en uendelig rekke konvergerer til $s$ , så konvergerer også tallfølgen av partiellsummer til $s$ . (Om du velger å studere matematikk videre er dette gjerne den beste måten å forstå uendelige rekker på. Se gjerne også artikkelen om konvergente følger.)

Hva kan vi si om tallfølgen av ledd $\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, . . .\}$ om den assosierte rekken er konvergent? Fra et intuitivt perspektiv ønsker vi at tallfølgen etterhvert skal ha små verdier, slik at summen av alle leddene ikke rømmer til uendelig. Dette viser seg å stemme.

TEOREM

Om en uendelige rekke $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ konvergerer, så konvergerer tallfølgen $\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, . . .\}$ til $0 .$

Altså

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} konvergerer \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 .$

Beviset nedenfor bruker en del konsepter elevene på videregående skole ikke har lært, og det er strengt tatt ikke nødvendig å introdusere disse konseptene: kun siste setning i beviset nedenfor er nok. Men prøv deg gjerne og se hvordan det går. Om du ønsker å lære deg detaljene, se artikkelen om konvergente følger.

Bevis

Det å si at rekken konvergerer til en sum $s$ er ekvivalent med å si at tallfølgen av partiellsummer $\{s_{n}\}$ konvergerer til $s$ . La $ε > 0$ (symbolet kalles "epsilon"), være et vilkårlig positivt, reelt tall. Når $n$ går mot uendelig vet vi at tallfølgen $\{s_{n}\}$ kommer uendelig nær $s$ . En annen måte å si dette på er følgende: for en tilstrekkelig stor $N$ er avstanden mellom $s_{n}$ og $s$ mindre enn $ε$ for alle $n \geq N,$

$|s_{n} - s| < ε hvis n \geq N .$

Vi husker at $s_{n} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n},$ og kan dermed skrive om ulikheten til

$|(a_{0} + a_{1} + . . . + a_{n}) - s| < ε .$

Da dette holder for alle $n \geq N,$ har vi i tillegg

$|(a_{0} + a_{1} + . . . + a_{n + 1}) - s| < ε .$

Vi merker at

$a_{n + 1} = s_{n + 1} - s_{n} .$

Da begge disse er nær $s$ er differansen nær $0$ , og vi er ferdige:

$\lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = \lim_{n \to \infty} (s_{n + 1} - s_{n}) = s - s = 0 .$

Merk at implikasjonen i teoremet ikke holder den andre veien.

Eksempel 1

Mens $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ , har vi at $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergerer. Det kan vi se ved hjelp av følgende teorem (integraltesten).

TEOREM

Anta at $f (x)$ er en monotont synkende funksjon, det vil si for $a > b$ så er $f (a) \leq f (b)$ . Funksjonen er definert på intervallet $[N, \infty)$ for et heltall $N .$ Da konvergerer den uendelige rekken

$\sum_{n = N}^{\infty} f (n)$

hvis og bare hvis

$\int_{N}^{\infty} f (x) dx$

har en endelig verdi. Altså

$\sum_{n = N}^{\infty} f (n) konvergerer \Leftrightarrow \int_{N}^{\infty} f (x) dx er endelig$ .

Merknad: Merk først at vi starter rekken fra en $N$ hvor funksjonen er deﬁnert. Om vi antar at funksjonen er deﬁnert på $[1, \infty)$ gjør ikke dette store forskjellen, da

$\sum_{n = N}^{\infty} f (n) = \sum_{n = 1}^{N - 1} f (n) + \sum_{n = N}^{\infty} f (n) .$

Da den første summen på høyresiden er endelig konkluderer vi med at venstresiden konvergerer hvis og bare hvis siste ledd på høyresiden konvergerer.

Bevis

La $n > N . Da f (x)$ er monotont synkende, vet vi at

(2) $f (n) \leq f (x)$ for $x \in [N, n], da f (n)$ er den minste verdien funksjonen $f (x)$ kan ha i dette intervallet. Vi integrerer begge sider i den første ulikheten:

(3) $\int_{n}^{n + 1} f (x) dx \leq \int_{n}^{n + 1} f (n) dx = f (n)$

da er $f (n)$ simpelthen en konstant, så det siste integralet er ${[f (n) x]}_{n}^{n + 1} = f (n) .$ Ved å bruke det samme trikset kan vi skrive $f (n)$ som et integral i intervallet $[N, n]$

$f (n) = \int_{n - 1}^{n} f (n) dx$

og vi vet fra $(2)$ at $\int_{n - 1}^{n} f (n) dx \leq \int_{n - 1}^{n} f (x) dx$

og dermed konkludere med at

(4) $f (n) \leq \int_{n - 1}^{n} f (x) dx .$

Vi husker at for $a < b < c$ har vi at

$\int_{a}^{c} f (x) dx = \int_{a}^{b} f (x) dx + \int_{b}^{c} f (x) dx .$

Dermed kan vi summere på følgende måte: hvis $K > N$

$\int_{n}^{K + 1} f (x) dx = \sum_{n = N}^{K} \int_{n}^{n + 1} f (x) dx .$

Fra (3) vet vi at hvert ledd i summen er mindre enn eller lik $f (n)$ , og vi kan konkludere med at

$\int_{N}^{K + 1} f (x) dx \leq \sum_{n = N}^{K} f (n) .$

På den andre siden vet vi fra (4) at

$\sum_{n = N}^{K} f (n) \leq f (N) + \sum_{n = N + 1}^{K} \int_{n - 1}^{n} f (x) dx$

da hvert integral i summen er større enn eller lik $f (n),$ og siden

$\sum_{n = N + 1}^{K} \int_{n - 1}^{K} f (x) dx = \int_{N}^{K} f (x) dx$

har vi ulikhetene

$\int_{N}^{K + 1} f (x) dx \leq \sum_{n = N}^{K} f (n) \leq f (N) + \int_{N}^{K} f (x) dx .$

Ved å la $K$ gå mot uendelig ser vi at integralet er endelig hvis og bare hvis rekken konvergerer.

Eksempel 2

Den uendelige rekken $\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n}$ divergerer, da grensen $\lim_{n \to \infty} {(- 1)}^{n}$ divergerer.

Eksempel 3

Den uendelige rekken $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergerer, til tross for at $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 .$ For å se dette anvender vi integraltesten; vi vet at funksjonen $f (x) = \frac{1}{x}$ er synkende på intervallet $[1, \infty)$ . Dermed konvergerer rekken hvis og bare hvis $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx$ er endelig. Men vi vet at integralet $\int_{1}^{K} \frac{1}{x} dx = \ln (K) - \ln (1) = \ln (K) .$ Ved å la K gå mot uendelig ser vi at rekken divergerer.

Mer om uendelige rekker

Bevis

Eksempel 1

Bevis

Eksempel 2

Eksempel 3

Lynkurs 11.-13.trinn

Følger og rekker

Består av: