Aritmetiske tallfølger

Hva er en aritmetisk tallfølge?

Betrakt tallfølgen $\{1, 4, 7, 10, 13, . . .\} .$ Vi merker at

$\begin{matrix} a_{1} = 1 \\ a_{2} = 4 = a_{1} + 3 \\ a_{3} = 7 = a_{2} + 3 \end{matrix}$

og så videre.

DEFINISJON

En tallfølge hvor hvert ledd $a_{i}$ kan kan skrives som $a_{i} = a_{i - 1} + d$ kalles aritmetisk.

Tallet $d$ kalles diﬀeransen til den aritmetiske tallfølgen.

Eksempel 1

En butikkeier bestilte inn for mye godteri til påske, og bestemmer seg for å sette ned prisen på en vare som originalt koster 50,- med 5,- hver uke til det er utsolgt. Hva koster varen etter fem uker?

Vi merker at vi kan sette opp prisnedgangen uke for uke som en aritmetisk tallfølge

$\{50, 45, . . .\}$

med diﬀeranse $d = - 5$ . Etter 5 uker vil prisen ha gått ned 25 kroner ( $5 \cdot (- 5) = - 25$ ), med andre ord vil varen koste 25,-. I vår aritmetiske følge vil prisen være $a_{6}$ . Vi merker at

$a_{6} = 50 + 5 \cdot (- 5) = 25 .$

TEOREM

Gitt en aritmetisk følge $\{a_{i}\}$ er $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d .$

Bevis

Vi utleder formelen direkte fra deﬁnisjonen av en aritmetisk følge:

$\begin{matrix} a_{n} & = & a_{n - 1} + d \\ = & a_{n - 2} + 2 d \\ = & . . . \\ = & a_{n - (n - 1)} + (n - 1) d \\ = & a_{1} + (n - 1) d . \end{matrix}$

Eksempel 2

Gitt den aritmetiske rekken $\{49, 0, - 49, - 98, . . .\}$ , finn en formel for $a_{n} .$

Vi anvender formelen gitt i teoremet og ﬁnner at

$a_{n} = 49 + (n - 1) (- 49) = - 49 n + 98 .$

Eksempel 3

Gitt at $a_{9} = 12 og d = 7,$ ﬁnn en formel for $a_{n} .$

Fra formelen har vi at $12 = a_{1} + 8 \cdot 7,$ så vi løser ligningen og får $a_{1} = - 44$ . Dermed har vi at $a_{n} = - 44 + (n - 1) \cdot 7 = 7 n - 51$ .

Aritmetiske tallfølger

Eksempel 1

Bevis

Eksempel 2

Eksempel 3

Lynkurs 11.-13.trinn

Følger og rekker

Består av: