Andregradslikninger

Dette lynkurset skal handle om likninger som inneholder uttrykk som står i andre potens, såkalte kvadrater. Vi skal starte med å se på kvadratsetningene, så se på hvordan man fullfører et kvadrat, og til slutt gi et svar på hvordan man løser en generell andregradslikning – nemlig abc-formelen.

Det som skiller en lineær likning i x og en andregradslikning i x er at en andregradslikning har et ledd på formen "et tall multiplisert med $x^2$". Likningen $x^2=2x$ er en andregradslikning i x. I tillegg til det lineære leddet 2x, har likningen også andregradsleddet $x^2$.

En generell andregradslikning i x skrives gjerne på formen

der a, b og c er konstante tall. Vi må ha $a\ne 0$, ellers er likningen lineær. Hvordan finner vi de tallene x som oppfyller en slik likning?

Vi tar en titt på eksempelet vårt:

Vi flytter over på venstresiden:

Hva tenkte den første personen i verden som løste en slik likning? Denne personen var sikkert meget god i algebra, og kunne blant annet faktorisere. Det kan vi også:

Her har vi et produkt som involverer x i begge faktorer, og det skal være 0. Følgende regel er ganske åpenbar:

Den sier at hvis et produkt er 0, er minst en av faktorene lik 0. Det vil si at vi må ha

som gir to lineære likninger med løsninger $x=0$ eller $x=2$. Setter vi inn 0 eller 2 i den opprinnelige likningen, ser vi at de oppfyller den. Vi har funnet to løsninger.

Denne metoden med å faktorisere er det viktigste verktøyet for å håndtere andregradsuttrykk. Senere skal vi se at generelt kan vi finne x ved hjelp av det som kalles abc-formelen: