Å bruke konjugatsetningen

Når man er godt kjent med konjugatsetningen ser man med en gang at man kan forenkle et uttrykk som ${2r}^2{s}^4-{8t}^2{u}^2$:

Å bli flink til å kjenne igjen slike ting som dette krever trening, så vi går rett på og ser på et par eksempler der konjugatsetningen hjelper oss.

Eksempel 1

Skriv uttrykket enklere:

Løsning. Begynner man å gange ut her, er det lett å gå seg vill og ende opp med feil. I stedet ser vi at vi kan sette parenteser litt lurt, slik at konjugatsetningen kan brukes:

I nest siste overgang brukte vi også 2. kvadratsetning for å regne ut ${(x-3)}^2$.

Vi tar med et eksempel til, litt mer omfattende enn det forrige. Her bruker vi alle tre kvadratsetningene «motsatt vei»:

Eksempel 2

Faktorisér uttrykket $x^4-2x^2+1-y^2-4y-4.$ 

Løsning. Ideen her er å skrive uttrykket som en differanse mellom to kvadrater, for så å bruke konjugatsetningen til å faktorisere.

La oss begynne med de tre første leddene. Ser du nøye på dem, kjenner du igjen formen til høyresiden i andre kvadratsetning, med $a=x^2$ og $b=1$. Det betyr altså at 

Vi kan også lage et kvadrat av de tre siste leddene, etter først å ha trukket ut en minus:

Her brukte vi første kvadratsetning med $a=y$ og $b=2$. Dette betyr at vi kan skrive det opprinnelige uttrykket som $x^4-{2x}^2+1-y^2-4y-4={(x^2-1)}^2-{(y+2)}^2$. Fordi dette er en differanse av to kvadrater, kan vi faktorisere ved å bruke konjugatsetningen.

Vi får at