Kvadratsetningene

Teorem. Kvadratsetningene. kvadratsetning: ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$  kvadratsetning:${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$ kvadratsetning: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ (også kalt konjugatsetningen)

Bevis. Her er det ikke noe hokus-pokus. Det er bare å gange ut venstresidene, så får du høyresidene. For eksempel:

${(a+b)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\mathrm{.}$

Noen lurer kanskje på hvorfor det er noe vits i å terpe så mye på disse tre «setningene» – det er jo likevel bare å regne ut hvis man skulle glemme dem. Det er selvfølgelig riktig, men de er såpass nyttige at det er lurt å huske dem utenat. Den beste måten å lære seg kvadratsetningene på er å regne en del eksempler. På denne og neste side skal vi se på noen.

Eksempel 1

Vi har

${(2x+1)}^2={4x}^2+4x+1$

 

ved 1. kvadratsetning. Dette kan også skrives som 

$4(x^2+x+\frac{1}{4})=4{(x+\frac{1}{2})}^2={\left(2(x+\frac{1}{2})\right)}^2$.

 

Vi har altså at

${4x}^2+4x+1=4(x+\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})\mathrm{.}$

 

Når et uttrykk ${ax}^2+bx+c$ 

i to lineære faktorer, setter vi ofte faktoren $a$ (tallet 4 her) utenfor de lineære faktorene.

 

Kvadratsetningene kan være til stor hjelp for å faktorisere kompliserte uttrykk. Generelt er det ingen metoder som forteller hvordan man kan faktorisere et vilkårlig uttrykk. Man er altså avhengig av ulike «triks», alt etter hva slags uttrykk det er snakk om. Ett slikt triks er å bruke kvadratsetningene motsatt vei– fra høyre mot venstre. Dette eksempelet viser oss hvor effektivt det kan være å gjøre dette.

Eksempel 2

Faktorisér uttrykket ${(z^2+1)}^2+2(z^2+1)z+z^2\mathrm{.}$

Løsning. Kan man ikke kvadratsetningene, er det lett å stå fast her. Men etter å ha stirret en stund på uttrykket, kjenner vi igjen høyresiden i 1. kvadratsetning, med $a=z^2+1$ og $b=z$. Og det betyr at vi kan skrive opp faktoriseringen direkte: 

${(z^2+1)}^2+2(z^2+1)z+z^2={\left(\right(z^2+1)+z)}^2={(z^2+z+1)}^2$