Banksparing over flere år

Hva er fast rente? Finn ut hvor mye du kan spare i løpet av $1$ år eller $5$ år.

Du setter inn $1500$ kr og får en rentefot på $3, 6 %$ . Pengene blir stående i $5$ år uten at du setter inn nye penger på kontoen og rentefoten er $3, 6 %$ hele tiden.

Etter det første året har beløpet økt til

$1500 kr + \frac{3, 6}{100} \cdot 1500 kr = 1500 kr + 54 kr = 1554 kr$ .

Når vi nå skal regne rentene for år nummer to har vi ikke lenger 1500 kr som sparebeløp, men $1554$ kr, og da vil vi etter to år ha

$1554 kr + \frac{3, 6}{100} \cdot 1554 kr = 1609, 94 %$ .

I årene fremover vil vi hele tiden beregne renter av renter, og dette kalles rentesrente. For å finne beløpet etter $5$ år, må vi fortsette på samme måte som over.

For å gjøre beregninger som denne kan vi utlede en generell formel.

La oss si vi får $p %$ rente i banken og setter inn en startkapital, $K_{0}$ . Startkapitalen blir stående urørt i $n$ år, og det eneste som skjer med pengene er at $p %$ renter blir lagt til ved utgangen av hvert år.

Startkapital	K₀
Etter $1$ år har vi	K₁	=	$K_{0} + \frac{p}{100} \cdot K_{0}$
		=	$K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})$
Etter $2$ år har vi	K₂	=	$K_{1} + \frac{p}{100} \cdot K_{1}$
		=	$K_{1} \cdot (1 + \frac{p}{100})$
		=	$K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{100})$
		=	$K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{2}$
Etter $3$ år har vi	K₃	=	$K_{2} + \frac{p}{100} \cdot K_{2}$
		=	$K_{2} \cdot (1 + \frac{p}{100})$
		=	$K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{2} \cdot (1 + \frac{p}{100})$
		=	$K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{3}$

Dette kan generaliseres i følgende uttrykk

rentesrente med vektsfaktor

$K_{n} = K_{0} {(1 + \frac{p}{100})}^{n}$ , hvor $K_{n}$ er kapitalen n år etter at startkapitalen $K_{0}$ er satt inn.

$(1 + \frac{p}{100})$ kalles vekstfaktor, hvor $p$ er prosentsatsen.

Vekstfaktor omtales også som prosentvis vekst eller eksponentiell vekst. Vekstfaktor kan brukes til alt som øker eller avtar jevnt med en gitt prosentsats per tidsenhet. Tidsenheten kan være per år, per time, per minutt og så videre.

Eksempel

Antall solge bærbare PC-er i 2013 var $10 942 000$ . Fra 2012 til 2013 falt salget med $23, 9 %$ . Hvor mange solgte bærbare PC-er vil det bli solgt om $10$ år hvis vi antar at salget fortsetter med årlig nedgang på $23, 9 %$ ?

Vi vet at $L_{0} = 10 942 000$ . Bestanden reduseres med $p = 23, 9 %$ per år. Siden salget minker bruker vi minus i uttrykket for vekstfaktoren og vi får at antallet solgte bærbare PC-er etter $n$ år vil være

$L_{n} = L_{0} \cdot {(1 - \frac{23, 9}{100})}^{n}$ .

Etter $n = 10$ år vil antallet solgte bærbare være være

$L_{10} = 10 942 000 \cdot 0, 761^{10} = 712 759, 93$

Siden vi snakker om antall PC-er må vi runde av, og kan si at $712 760$ bærbare PC-er vil bli solgt om $10$ år.

Del på Facebook

Del på Facebook

Lynkurs, 8.-10.trinn

Prosent

Består av:

Begrep

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .
Rente

Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.

Se renteformel og rentefot
Renteformel

Renteformelen kan skrives slik:
$r = \frac{K \cdot p \cdot d}{100 \cdot 360}$

der r står for rentebeløpet, K for kapitalen, p for rentefoten og d for det antall dager kapitalen forrentes.
Rentefot

Når du låner penger i en bank betaler du lånet tilbake med renter.
Det som bestemmer hvor mye du må betale i renter er rentefoten (rentesatsen), størrelsen på beløpet og tiden du låner.

Rentefoten er en viss prosent av lånebeløpet.

p brukes ofte som symbol for rentefot.

Dersom du har et innskudd i banken, tjener du penger i form av renter. Da er det du som låner penger til banken.

Banksparing over flere år

Eksempel

Lynkurs, 8.-10.trinn

Prosent

Består av:

Begrep

Prosent

Rente

Renteformel

Rentefot