Rasjonale ulikheter
Den mest avanserte typen ulikhet vi skal se på i dette kurset er den rasjonale ulikheten. Dette er uttrykk der vi har en brøk med x i både over og under brøkstreken.
Først et viktig poeng: Hittil har vi sett på å løse ulikheter der høyresiden er 0. Hva om det står noe annet der? Jo, da bruker vi regnereglene for ulikheter og skriver om slik at det står 0 på høyresiden, og så kan vi gjøre slik vi har gjort hittil. Her viser vi et eksempel hvor vi vil løse en rasjonal ulikhet:
5x−2(2−x)(x−1)≤1. |
Vi flytter over 1:
5x−2(2−x)(x−1)−1≤0, |
og setter på felles nevner. Det gir (5x−2)−(2−x)(x−1) i telleren, som
etter opprydding gir ulikheten (sjekk!):
x(x+2)(2−x)(x−1)≤0. |
Rasjonale ulikheter løser vi på samme måte som de andre: Vi drøfter hver faktor for seg og slår dem sammen. Fortegnene vil følge samme multiplikasjonstabell som for
produkter, selv om faktorene nå er dividender og/eller divisorer. Den eneste
forskjellen er at nevneren ikke kan være 0. Det markerer vi gjerne i skjemaet
med et kryss for de x-ene som gjør at nevneren er 0.
Når vi gjør dette får vi følgende fortegnsskjema:
Løsningene til ulikheten 5x−2(2−x)(x−1)≤1 er dermed x∈(−∞,−2] eller ∈[0,1) eller x∈(2,∞]. (Siden ulikheten ikke er streng, er endepunktene −2 og 0 med. Setter vi for eksempel inn x=0 i ulikheten, får vi −2−2≤1, som stemmer. Endepunktene 1 og 2 er ikke med siden de gir 0 i nevneren til uttrykket.)
Del på Facebook
Lynkurs 11.-13.trinn
Ulikheter
Består av:
- Lineære ulikheter
- Uoppstilte ulikheter
- Fortegnsskjema
- Ulikheter av høyere grad
- Rasjonale ulikheter
Begrep
-
Fortegnsskjema
Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.