Fortegnsskjema

Førstegradsuttrykk

Når er for eksempel det lineære uttrykket $-2x+1$ positivt? lik 0? negativt? Ved å løse den lineære likningen $-2x+1=0$ finner vi at uttrykket er 0 når $x=\frac{1}{2}$. Ved å løse ulikheten $-2x+1>0$, ser vi at uttrykket er (strengt) positivt for $x<\frac{1}{2}$ , og ved å snu ulikheten, ser vi at det er negativt for $x>\frac{1}{2}$.

Vi kan tegne opp fortegnsskiftet for et lineært uttrykk i $x$ med en såkalt fortegnslinje. Vi tegner først opp

, der $x$ kan variere. Deretter tegner vi en ’ny’ tallinje under, der vi markerer hvordan fortegnet til uttrykket varierer med $x$: For de $x$-verdiene der uttrykket er (strengt) positivt, lar vi linja være sammenhengende, mens for de verdiene der uttrykket er (strengt) negativt stipler vi linja. Vi tegner inn en 0 (eller gjerne en ring) på linja der uttrykket er lik 0.

Uttrykket $-2x+1$ i eksempelet over gir fortegnslinja:

 

Et generelt lineært uttrykk i x er på formen $ax+b$ der a og b er konstante tall. Dette uttrykket er lik 0 når $x=\frac{b}{a}$. Videre har vi følgende(sjekk og tegn!):

• Hvis $a>0$, skifter uttrykket $ax+b$ fortegn fra $-$ til $+$ når $x=-\frac{b}{a}$.

• Hvis $a<0$, skifter uttrykket $ax+b$ fortegn fra $+$ til $-$ når  $x=-\frac{b}{a}$.

Andregradsuttrykk

Hvordan varierer så fortegnet til et andregradsuttrykk? Når er ${ax}^2+bx+c$ positivt? Lik 0? Negativt?

Her er det en stor fordel å kunne faktorisere! Vi faktoriserer andregradsuttrykket i lineære faktorer (hvis mulig), og fortegnsdrøfter hver lineær faktor. Deretter ser vi på fortegnet til produktet, og bruker at produktet av et positivt tall og et negativt tall er negativt, mens produktet av to positive tall er positivt, og produktet av to negative tall er positivt (egenskaper ved de reelle tallene igjen). Det gir denne "multiplikasjonstabellen":

 

Når er uttrykket $x^2-8x+7$ positivt? Lik 0? Negativt? Vi faktoriserer uttrykket:

$x^2-8x+7=(x-7)(x-1)$

 
Faktoren $x-7$ er lik 0 for $x=7$, positiv for $x>7$ og negativ for $x<7$.
Faktoren $x-1$ er lik 0 for $x=1$, positiv for $x>1$ og negativ for $x<7$.

(Hvis for eksempel $x=2$, er $x-7$ negativ, mens  $x-1$ er positiv, dermed er produktet $x^2-8x+7$ negativt for $x=2$.) Hvis vi slår sammen fortegnene på faktorene, får vi at $x^2-8x+7$ er lik 0 for $x=1$ og $x=7$, positivt for $x<1$ og $x>7$ og negativt for $1<x<7$.

Vi kan tegne opp fortegnsskiftet for andregradsuttrykk i et fortegnsskjema:
For hver lineær faktor tegner vi fortegnslinja til faktoren, og til slutt lager vi
en fortegnslinje for uttrykket, ved å følge ’multiplikasjonstabellen’ over.

Fortegnsskjemaet for uttrykket $x^2-8x+7$ er: