Lineære ulikheter

Ulikheten

                                    $x+5(7-x)\ge x-12$ 

er lineær, siden vi bare har lineære ledd på begge sider av ulikhetstegnet.

Løsningsmetode: Metoden er nesten den samme som for lineære likninger, men med én stor forskjell: Vi sammenligner nå størrelser, og vi vet at de største tallene ligger lengst til høyre på

. Det betyr for eksempel at mens 1 < 2, så er −1 > −2:



Det er en del regneregler som gjelder for ulikheter. Vi antar vi har to tall a og b der $a>b$, og ser på noen sannheter:

• For et tall c er $a+c>b+c$ og $a-c>b-c$.

• For et tall $c>0$ er $ac>bc$ og $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$.

• For et tall $c<0$ er $ac<bc$ og $\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$ (ulikheten snus!).

Les de tre sannhetene over høyt for deg selv. Tilsvarende gjelder om vi bytter ut tegnet $>$ med et av de andre ulikhetstegnene.

Dessuten har vi at (tegn tallinje og se!):

• Hvis $a>b$og $b>c$, så er  $a>c$.

• Hvis $a>b$ og $c>d$, så er  $a+c>b+d$.

 

La oss løse ulikheten fra over, altså

$x+5(7-x)\ge x+12.$

 

Da får vi

$x+5(7-x)\ge x-12$

$-5x\ge -47$

$x\le \frac{47}{5}\mathrm{.}$

 

Når vi løser en ulikhet i x, skal vi finne de tallene x som oppfyller ulikheten. Løsningene vil gjerne utgjøre et intervall. Vi får altså uendelig mange løsninger: alle tall i intervallet oppfyller ulikheten. Vi bruker ofte parentesnotasjon for et intervall: Hvis $a<b$ består intervallet $[a,b)$ av tallene som ligger mellom $a$ og $b$, og der endepunktet $a$ er med i intervallet, mens $b$ ikke er det. Som vist over fikk vi løsningene $x\le \frac{47}{5}$. Det er uendelig mange tall som er mindre enn $\frac{47}{5}$. Vi kan også oppgi løsningene som

$x\in (\leftarrow ,\frac{47}{5}],$

 

eller gjøre bruk av symbolet for ’uendelig’:

$x\in (-\infty ,\frac{47}{5}]\mathrm{.}$

Alle disse skrivemåtene er gyldige.