Addisjonsmetoden

Nå skal vi vise hvordan vi løser et likningssett ved å bruke addisjonsmetoden eller også kalt for elliminasjonsmetoden da vi ved hjelp av metoden eliminerer en av ukjente.

I det første eksemplet vil vi nå eliminere den ene ukjente, mens i det neste eksemplet vil vi eliminere den andre. Uavhengig av hvilken ukjent vi velger å eliminere først, $y$ eller $x$, vil svaret alltid være det samme (hvis du har regnet riktig).

Eksempel på å eliminere $y$

La oss finne løsningen til likningssettet

 $\begin{array}{c}y=6x+120\text{ (1)}\\ y=3x+150\text{ (2)}\end{array}$ 

Venstresidene i begge disse likningene består av kun én $y$. Derfor er det enkelt å eliminere $y$. Vi gjør det ved å trekke likning (2) fra likning (1). Dette setter vi opp på følgende måte:

Minustegnet foran linje to gjelder for alle leddene. Det betyr at $y$ trekkes fra $y$-en i linjen over, $3x$ trekkes fra $6x$ i linjen over og $150$ trekkes fra $120$ i linjen over. Dermed sitter vi igjen med $0=3x-30$. Dette er en førstegradslikning med én ukjent. Denne løser vi på vanlig måte. Vi legger til 30 på begge sider av likningen og får $3x=30$. Vi dividerer med 3 og får $x=10$.

Husk at løsningen til et likningssett består av et tallpar med en $x$ -verdi og tilhørende $y$-verdi. Vi må finne den tilhørende verdien til $y$. Vi setter $x=10$ enten inn i likning (1) eller likning (2). Det er valgfritt hvilken likning vi bruker her. Vi velger likning (1) og setter $x=10$ inn i likning (1). Da får vi

$y=6\cdot 10+120=60+120=180$

Løsningen på likningssystemet er punktet $(x,y)=(10,180)$.

Eksempel på å eliminere $x$

Likninger ser fort litt verre ut enn eksemplet over. Derfor skal vi nå finne løsningen for samme likningssettet, men ved å bruke addisjonsmetoden på ledd med $x$.

 $y=6x+120y=3x+150$ $\left(1\right)\left(2\right)$ 

Man må alltid prøve å få den variabelen som man vil fjerne, $x$ i dette tilfellet, til å ha samme koeffisient med motsatt fortegn. Vi ønsker at $x$ er multiplisert med det samme tallet i begge likningene, men med motsatt fortegn.

Her er $x$ multiplisert med $6$ i likning (1) og og $3$ i likning (2). Vi multipliserer likning (2) med $-2$ slik at vi får $-6x$ i likning (2). Legg merke til at vi igjen multipliserer hvert ledd i likning (2) med $-2$.

For å få $y$ alene på venstresiden, multipliserer vi med $-1$ begge sider av likningen. Vi får $y=180$. Vi setter dette inn i for eksempel likning (1) og får $x=10$.