Substitusjonsmetoden

Steg for steg:

Vi har to likninger med de samme to ukjente, $x$ og $y$. Substitusjonsmetoden har tre steg:

1. Velg en av likningene. Løs denne likningen med hensyn på en av ukjente (for eksempel $y$). Dette betyr at vi får $y$ alene på venstresiden av likhetstegnet.
2. Erstatt $y$ -en i den andre likningen med det du fant i punkt 1. Løs likningen og finn verdien til $x$.
3. Sett inn i det første uttrykket inn for $x$ og regn ut verdien til $y$.

Legg merke til at du selv velger hvilken likning du ønsker å begynne med. Det er også du selv som velger hvilken ukjent du ønsker å løse likningen med hensyn på.

Eksempel 1.

Løs likningssettet

 $\begin{array}{c}4x-3y=15\text{ (1)}\\ -5x+y=-16\text{ (2)}\end{array}$ 

1. Når vi ser på likningene, ser vi at i likning (2) har vi ett ledd med kun $y$. Derfor velger vi å løse likning (2) med hensyn på $y$. Vi legger til $5x$ på begge sider av likningen.

 $\begin{array}{c}-5x+y+5x=-16+5x\\ y=-16+5x\end{array}$ 

2. Nå kan vi sette uttrykket for $y$ i likning (1). Vi løser likningen.

 $4x-3(-16+5x)=15$ 

 $4x+48-15x=15$ 

 $-11x+48=15$ 

 $-11x+48-48=15-48$ 

 $-11x=-33$ 

 $\frac{-11x}{-11}=\frac{-33}{-11}$ 

 $x=3$ 

3. Nå setter vi inn for $x$ i $y=-16+5x$.

 $y=-16+5\cdot 3=-16+15=-1$ 

Løsningen til likningssettet er $(x,y)=(3,-1)$.

Eksempel 2.

La oss løse likningssettet ved hjelp av substitusjonsmetoden.

$\begin{array}{cc}y=6x+120& \left(1\right)\\ y=3x+150& \left(2\right)\end{array}$

Her har vi allerede $y$ alene på venstresiden både i likning $\left(1\right)$ og i likning $\left(2\right)$. For at likningssettet nå skal ha en entydig løsning må nødvendigvis de to uttrykkene for $y$ være like. Derfor setter vi den første likningen, $\left(1\right)$, og den andre likningen, $\left(2\right)$, lik hverandre slik:

 $y=y$

I likning (1) er høyresiden lik $6x+120$ og i likning (2) er den lik $3x+150$. Vi løser likningen med hensyn på $x$:

$\begin{array}{ccc}6x+120& =& 3x+150\\ 6x-3x& =& 150-120\\ 3x& =& 30\end{array}$ 

Løsningen er $x=10$.

Vi setter $x=10$ enten inn i likning $\left(1\right)$ eller i likning $\left(2\right)$. Vi velger likning $\left(1\right)$. Dette gir

$y=6\cdot 10+120=60+120=180$

Løsningen på likningssystemet er punktet $(x,y)=(10,180)$.