Divisjon med brøk

Tegn og tenk

Vi har $\frac{1}{2}$ liter melk som skal helles på $\frac{1}{4}$ liters kartonger. Hvor mange kartonger trenger vi? Her blir vi spurt om å finne svaret på $\frac{1}{2}:\frac{1}{4}$ eller hvor mange ganger $\frac{1}{4}$ går opp i $\frac{1}{2}$. Vi kan tegne en halv og halvere hver av delene. Da ser vi at  $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ og derfor er $\frac{1}{2}:\frac{1}{4}=2$. Svaret er 2.

Tegn og utvid brøken

Hvor mange ganger går $\frac{1}{6}$ opp i $\frac{2}{3}$ eller $\frac{2}{3}:\frac{1}{6}$?
Her tegner vi først $\frac{2}{3}$. Hvis vi deler hver tredel i to like store deler, får vi seksdeler. Vi ser her at 4 seksdeler får plass i det omrdået som er $\frac{2}{3}$ stort.

En annen måte vi kan finne svaret, er å utvide brøken $\frac{2}{3}$ til seksdeler, $\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{4}{6}$. Regnestykket ser ut som $\frac{2}{3}:\frac{1}{6}=\frac{4}{6}:\frac{1}{6}$. Spørsmålet nå er hvor mange seksdeler det er plass i fire seksdeler. Svaret er 4.

Bruk regelen

Nederst på siden er regelen bevist.

$\frac{2}{3}:\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\cdot \frac{6}{1}=\frac{2\cdot 6}{3\cdot 1}=\frac{12}{3}=4$

Divisjon med brøk og heltall

Vi har fire liter melk som skal fylles opp i $\frac{1}{3}$ liters kartonger med melk. Hvor mange kartonger trenger du?

Her skal vi regne ut $4:\frac{1}{3}$. Fordi vi vet at $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$, vet vi at for hver liter bruker vi tre kartonger. Siden vi har fire liter må vi bruke 12 kartonger. Vi kan også tegne opp en tallinje som vist under og telle oss til svaret

Breiteig og Venheim: Matematikk for lærere 1, side 215

Her kunne vi også brukt regelen. Husk at helt tall kan gjøres om til brøk med nevner lik 1.

 $4:\frac{1}{3}=\frac{4}{1}:\frac{1}{3}=\frac{4}{1}\cdot \frac{3}{1}=\frac{4\cdot 3}{1\cdot 1}=\frac{12}{1}=12$ 

Bevis for regel

Regelen kan ved hjelp av bokstaver skrives slik: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$
Bokstavene a, b, c og d er fire ukjente tall. Brøkstreken i brøken betyr også divisjon. Vi kan skrive 12:4 eller $\frac{12}{4}$. Begge disse uttrykkene har samme verdi, nemlig 3. Vi benytter oss av dette faktum når vi beviser regelen vår:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{\frac{a}{b}\cdot bd}{\frac{c}{d}\cdot bd}=\frac{a\cdot d}{c\cdot b}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$