Magiske kvadrater

Introduksjon:   

Et magisk kvadrat består av små kvadrater satt sammen til et større kvadrat, der hvert lille
kvadrat inneholder et tall, plassert etter et bestemt mønster. Summen av tallene langs hver horisontale, vertikale og diagonale linje er den samme. Denne summen kalles ”Den
magiske summen”.

Gjennomføring:   

I et ekte magisk kvadrat skal tallene som er fylt ut være alle heltall fra 1 og opp til tallet
svarende til antall ruter i det store kvadratet. Nedenfor er et eksempel på det enkleste
magiske kvadratet:

Her er den magiske summen 15.

La dette være den første oppgaven til elevene. Presenter for dem hva et magisk kvadrat
er, og utfordre dem til å fylle ut kvadratet på 3x3 ruter (se mal 3x3).

Neste utfordring:   

La elevene prøve på et 4x4 magisk kvadrat (se mal 4x4). Introduser problemet med en
felles klassediskusjon for å finne den magiske summen. Se om elevene kan oppdage at:

$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=(1+16)\cdot \frac{16}{2}=136$
Da er den magiske summen $136:4=34$, og videre få fram at at
$1+2+\mathrm{...}+n=(1+n)\cdot \frac{n}{2}$,

så hvis et kvadrat har n ruter, er den magiske summen

$(1+n)\cdot \frac{n}{2}:\sqrt{n}$.

Nå skal elevene prøve å fylle ut et magisk kvadrat på 4x4 ruter. Da må de nok få litt
hjelp. Du kan enten:

a) Gjøre det til et puslespill (se mal puslespill), eller
b) Fylle inn noen av tallene på forhånd, og la de som strever mest få flere tall plassert av deg etter hvert som de begynner å miste motet.

Løsning:           

NB! Det finnes flere riktige løsninger.

Enda en utfordring:    

Her er to magiske kvadrater oppå hverandre. Det ene er ekte, mens det andre starter der
det første slutter. Kvadratene er lagt oppå hverandre slik at summen av tallene langs
diagonalene  i det doble kvadratet er lik for begge diagonalene.

Lag et puslespill, eller halvferdig utfylte kvadrater til elevene, slik som utfordringen ovenfor (se mal to magiske kvadrater).


Les mer: http://www.grogono.com/magic/text-magichome.shtml#Top.

For historisk overblikk:    

Se for eksempel http://www.grogono.com/magic/text-history.shtml.

Her finner du for eksempel Benjamin Franklins berømte kvadrater, som ikke er ekte magiske kvadrater, men som har mange interessante mønster i seg. Gi eventuelt elevene i oppgave å oppdage disse mønstrene.