Magiske trekanter

Under vedlegg er det lagt ut tallkort og mal for den magiske trekanten.

Fremgangsmåte:

1. Alle lager 9 tallkort med alle heltallene fra 1 til 9 (se vedlegg). Til å begynne med skal bare de seks første brukes.
2. Plasser tallene fra 1 til 6 langs sidene i en trekant (se vedlegg), slik at summen er den samme langs hver side av trekanten.
3. Hvilke ulike muligheter finnes for summen? Skriv ned alle løsningene på arbeidsarket. Hvordan kan dere vite om dere har funnet alle løsningene? Finner dere et system?
4. Hva skjer om dere bruker tallkortene fra 2 til 7 i stedet? – eller fra 3 til 8? Gjett først hvilke summer som er mulig.

Spørsmål:

1. Hva er den minste summen som er mulig? Hvorfor?
2. Hva er den største summen som er mulig? Hvorfor?
3. Hvilke mønster ser dere for de ulike summene?
4. Hva skjer hvis summen av tallene i hjørnene er et partall/oddetall?
5. Finner dere andre mønster hvis dere bruker tallene fra 2 til 7 eller 3 til 8?

Utvidelse:

1. Bruk tallkort med oddetallene fra 1 til 11.
2. Bruk tallkort med partallene fra 2 til 12.
3. Bruk tallkort med samme differens, for eksempel 2, 5, 8, 11, 14, 17.
4. Bruk tallkort med primtall.
5. Bruk tallkort med brøk, for eksempel $\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{3}{8},\frac{1}{2},\frac{5}{8},\frac{3}{4}$.
6. Bruk tallkortene fra 1 til 9 med fire tall langs hver side i trekanten.
7. Bruk bokstaver i stedet for tall og finn en formel for hvordan tallene skal plasseres.

Løsninger:

Muligheter for summen er 9, 10, 11 og 12.

Minste sum:
Finnes ved å plassere de minste tallene i hjørnene, siden hjørnetallene skal brukes to ganger.

Minste sum er 9.

Største sum finnes ved å plassere de største tallene i hjørnene:

Største sum er 12.

Sum 10 kan oppnås ved å la oddetallene stå i hjørnene:

Sum 11 kan oppnås ved å la partallene stå i hjørnene:

Vi kan bytte ut tallene fra 1 til 6 med hvilke som helst andre etterfølgende heltall, for eksempel:

Det samme gjelder alle tallrekker med seks tall, der avstanden mellom tallene i rekka er konstant (såkalte aritmetiske rekker).

Det går ikke an med primtall, siden det ikke finnes seks primtall med lik avstand mellom hvert tall.

Brøkene går på samme måte som heltallene, bare det er samme avstand mellom dem (i vårt eksempel er differansen $\frac{1}{8}$).

Med 4 tall langs hver side er den minste summen 17:

Med bokstaver $a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,a+5d$ får vi løsningene:

Her er summen $3a+6d$.

Her er summen $3a+9d$.

Her er summen $3a+8d$.

Her er summen $3a+7d$.