Funksjonsalgebra og omvendte funksjoner

Videoen forklarer funksjonsalgebra, funksjonssammensetning, identitetsfunksjonen og inverse funksjoner.

MatRIC: Funksjonsalgebra og omvendte funksjoner

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Begreper

Invers operasjon

En invers operasjon er en "motsatt" operasjon. Subtraksjon og addisjon representerer motsatte tankeprosesser, og de kalles inverse operasjoner. Divisjon og multiplikasjon er motsatte eller inverse regneoperasjoner.

Invers operasjon

Rasjonal funksjon

En funksjon som er en kvotient av to polynomfunksjoner.

Rasjonal funksjon

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

Funksjon

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

Lineære funksjoner

Oppgaver

1. La $f (x) = x^{2} + 5 x + 1$ og $g (x) = x + 2$ .

Regn ut $(f + g) (x)$ , $(g - f) (x)$ , $(f \cdot g) (x)$ og $\frac{g}{f} (x)$ .

FASIT

$(f + g) (x) = x^{2} + 6 x + 3$

$(g - f) (x) = - x^{2} - 4 x + 1$

$(f \cdot g) (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 11 x + 2$

$\frac{g}{f} (x) = \frac{x + 2}{x^{2} + 5 x + 1}$ (Her er det ingen felles faktorer i teller og nevner.)

2. La

f (x) = x^{2} - 3

g (x) = x^{4} + x^{2}

Regn ut

(f + g) (x)

(g - f) (x)

(f \cdot g) (x)

\frac{g}{f} (x)

FASIT

$(f + g) (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 3$

$(g - f) (x) = x^{4} + 3$

$(f \cdot g) (x) = x^{6} - 2 x^{4} - 3 x^{2}$

$\frac{g}{f} (x) = \frac{x^{4} + x^{2}}{x^{2} - 3}$ (her er det ingen felles faktorer i teller og nevner.)

3. La

f (x) = x^{2} + 3 x - 4

g (x) = 2 x

. Finn

(f \circ g) (x)

og regn ut

(f \circ g) (3)

FASIT

$(f \circ g) (x) = 4 x^{2} + 6 x - 4$ og $(f \circ g) (3) = 50$

Løsningsforslag:

$g (3) = 6$

$f (6) = 50$

4. La

f (x) = x^{\frac{1}{3}}

g (x) = \sqrt{x}

. Finn

(f \circ g) (x)

og regn ut

(f \circ g) (64)

FASIT

$(f \circ g) (x) = x^{\frac{1}{6}}$ og $(f \circ g) (64) = 2$

Løsningsforslag:

$g (64) = 8$

$f (8) = 2$

5. La

f (x) = \ln (x)

g (x) = 3 x^{2} - 2

. Finn

(f \circ g) (x)

og bestem definisjonsmengden.

FASIT

$D_{f g} = (- \infty, - \sqrt{\frac{2}{3}}) \cup (\sqrt{\frac{2}{3}}, \infty)$

Løsningsforslag:

$(f \circ g) (x) = \ln (3 x^{2} - 2)$

Definisjonsmengden er alle $x$ -verdier vi kan bruke i funksjonen. De eneste "ulovlige" $x$ -verdiene i denne oppgaven er de som gjør at vi tar logaritmen til null eller til et negativt tall.

$D_{(f \circ g)}$
$= {x : (3 x^{2} - 2) > 0}$
$= {x : x^{2} > \frac{2}{3}}$
$= {x : x > \sqrt{\frac{2}{3}} eller x < - \sqrt{\frac{2}{3}}}$

6. La

f (x) = 4 x

. Finn

f^{- 1}

FASIT

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{4}$

Løsningsforslag:

$y = 4 x$

$x = \frac{y}{4}$

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{4}$

7. La

h (r) = 2 r + 3

. Finn

h^{- 1}

FASIT

$h^{- 1} (r) = \frac{r - 3}{2}$

Løsningsforslag:

$y = 2 r + 3$

$2 r = y - 3$

$r = \frac{y - 3}{2}$

$h^{- 1} (r) = \frac{r - 3}{2}$

8. La

x > 0

f (x) = \ln (2 x)

. Finn

f^{- 1}

FASIT

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2} e^{x}$

Løsningsforslag:

$y = \ln (2 x)$

$e^{y} = 2 x$

$x = \frac{1}{2} e^{y}$

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2} e^{x}$

9. La

x \neq 4

g (x) = \frac{2 x + 3}{4 - x}

. Finn

g^{- 1}

FASIT

$g^{- 1} (x) = \frac{4 x - 3}{2 + x}$

Løsningsforslag:

$y = \frac{2 x + 3}{4 - x}$

$y (4 - x) = 2 x + 3$

$2 x + y x = 4 y - 3$

$x (2 + y) = 4 y - 3$

$x = \frac{4 y - 3}{2 + y}$

$g^{- 1} (x) = \frac{4 x - 3}{2 + x}$

Del på Facebook

Del på Facebook

Matematikk for studenter

Funksjoner

Består av: