Funksjoner og polynomer

Videoen forklarer definisjonsmengde, verdimengde og funksjonsbegrepet.

MatRIC: Funksjonsbegrepet

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Polynomfunksjoner

MatRIC: Polynomfunksjoner

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Begreper

Definisjonsmengde

En funksjon tar verdier fra en bestemt mengde, og denne mengden kalles definisjonsmengden til funksjonen.

Eksempel:

$f (x) = \frac{1}{x} f o r x \in (0, \infty)$

har definisjonsmengde $(0, \infty)$ . Merk at funksjonen ikke kan være definert i $x = 0$ fordi vi ikke kan dele på $0$ .

Definisjonsmengde

Verdimengde

Mengden av verdier $f (x)$ kan anta, kaller vi verdimengden til funksjonen.

Eksempel: $f (x) = 2 x f o r x \in [0, 10]$

Det gir at $f (x)$ har verdimengde fra og med 0 til og med 20.

Verdimengde

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

Polynom

Polynomlikning

En likning der bare summer og produkter av en eller flere ukjente og konstanter forekommer.

Polynomlikning

Oppgaver

1. Forklar begrepet funksjon?

FASIT

Det finnes mange ulike måter å definere en funksjon på, og noen er mer presise enn andre. Her gir vi et enkelt svar:

En funksjon er en regel som til ethvert element i en mengde tilordner ett og bare ett element i en annen mengde.

2. Hvilket av av funksjonene nedenfor er polynomfunksjoner:

$f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ , $g (x) = \sqrt{x} - 2 x + 3$ , $h (x) = x^{5} - \sqrt{2}$ , $i (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - x^{- 1} + 4$ .

FASIT

Funksjonene $f$ og $h$ er polynomfunksjoner, mens $g$ og $i$ ikke er det.

De eneste potensene $x^{n}$ som kan inngå i polynomer er de der $n \in ℕ$ eller $n = 0$ . Det er ingen krav til koeffisientene.

3. Ut ifra videoen ovenfor, skriv ned en generell funksjon som representerer alle mulige reelle polynomfunksjoner.

FASIT

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} +$ $\dots$ $+ a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ,

der $n \in ℕ$ eller $n = 0$ og $a_{i} \in ℝ$ for alle $i = 0, 1, 2, \dots, n$ .

4. Finn definisjonsmengden og verdimengden til polynomfunksjonen $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 3$ .

FASIT

$D_{f} = ℝ$

$V_{f} = [3, \infty)$

5. Finn definisjonsmengden og verdimengden til polynomfunksjonen $f (x) = x^{3} + {4 x}^{2} + 5$ .

FASIT

$D_{f} = ℝ$

$V_{f} = ℝ$

6. Finn definisjonsmengden og verdimengden til polynomfunksjonen $f (x) = 2$ .

FASIT

$D_{f} = ℝ$
$V_{f} = {2}$

7. Finn definisjonsmengden og verdimengden til den rasjonale funksjonen $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ .

FASIT

$D_{f} = ℝ \ {2}$
$V_{f} = ℝ \ {0}$

8. Bruk GeoGebra til å finne definisjonsmengden og verdimengden til den rasjonale funksjonen $f (x) = \frac{1}{(x^{2} - 1)}$ .

FASIT

$D_{f} = ℝ \ {- 1, 1}$

$V_{f} = (- \infty, - 1] \cup (0, \infty)$

9. Finn definisjonsmengden og verdimengden til rotfunksjonen $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2}$ .

FASIT

$D_{f} = ℝ$
$V_{f} = [\sqrt{2}, \infty)$

10. Finn definisjonsmengden og verdimengden til rotfunksjonen $f (x) = \sqrt{3 x}$ .

FASIT

$D_{f} = ℝ^{+} \cup {0}$
$V_{f} = ℝ^{+} \cup {0}$

( $ℝ^{+}$ representerer alle de positive reelle tallene, ikke inkludert $0$ )

11. Finn definisjonsmengden og verdimengden til logaritmefunksjonen $f (x) = \ln (x)$ .

FASIT

$D_{f} = ℝ^{+}$
$V_{f} = ℝ$

12. Finn definisjonsmengden og verdimengden til eksponentialfunksjonen $f (x) = e^{x}$ .

FASIT

$D_{f} = ℝ$
$V_{f} = ℝ^{+}$

13. Finn definisjonsmengden og verdimengden til den trigonometriske funksjonen $f (x) = \sin (x)$ .

FASIT

$D_{f} = ℝ$
$V_{f} = [- 1, 1]$

14. Finn definisjonsmengden og verdimengden til den trigonometriske funksjonen $f (x) = 3 \cos (x)$ .

FASIT

$D_{f} = ℝ$
$V_{f} = [- 3, 3]$

Del på Facebook

Del på Facebook

Funksjoner og polynomer

Polynomfunksjoner

Begreper

Definisjonsmengde

Verdimengde

Polynom

Polynomlikning

Oppgaver

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

Matematikk for studenter

Funksjoner

Består av: