Bestemt integral

Videoen forklarer bestemt integral og viser eksempler og anvendelser.

MatRIC: Bestemt integral

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Begreper

Bestemt integral

Integralet av en funksjon mellom to grenser.
For en reell kontinuerlig funksjon med positive funksjonsverdier, kan det bestemte integralet tolkes som arealet av området begrenset av grafen til funksjonen, x-aksen og de to grenseverdiene.

Det skrives $\int_{a}^{b} f (x) dx$

a og b er grenseverdiene, og f(x) er funksjonen vi integrerer.

Bestemt integral

Integralregning

Integralregning er forbundet med arealbegrepet. Et areal kan uttrykkes ved et bestemt integral, og det kan beregnes ved integrasjon. Integralet fra a til b av funksjonen f kan tolkes som arealet av det området som begrenses av funksjonens graf, x-aksen og de vertikale linjene x=a og x=b.

Integralregning

Oppgaver

1. La $f$ være en positiv funksjon på intervallet $[a, b]$ . Gi en enkel forklaring på hva du finner når du regner ut $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

FASIT

Det bestemte integralet $\int_{a}^{b} f (x) d x$ gir arealet mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen, og mellom linjene $x = a$ og $x = b$ .

Det kan være lurt å tegne opp informasjonen ovenfor, for en bedre forståelse.

2. La $f$ være en negativ funksjon på intervallet $[a, b]$ . Hva er sammenhengen mellom $\int_{a}^{b} f (x) d x$ og arealet $A$ av området begrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen, linjene $x = a$ , $x = b$ ?

FASIT

$A =$ ${- \int}_{a}^{b} f (x) d x$ .

Det er også slik at ${{- \int}_{a}^{b} f (x) d x = \int}_{b}^{a} f (x) d x$ .

3. La funksjonen $f$ ha både negative og positive verdier i intervallet $[a, b]$ . Hvordan vil dette påvirke svaret du får når du regner $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ?

FASIT

Der $f$ er positivt definert, la $A_{p}$ være arealet av området over $x$ -aksen og under grafen til $f$ .
Der $f$ er negativt definert, la $A_{n}$ være arealet av området under $x$ -aksen og over grafen til $f$ .

Da er $\int_{a}^{b} f (x) d x = A_{p} - A_{n}$ .

4. I spørsmålet over tok funksjonen $f$ både positive og negative verdier i intervallet $[a, b]$ , og du så at verdien av $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ble påvirket av dette. Hvordan kan du finne det totale arealet mellom grafen til $f$ , $x$ -aksen, og linjene $x = a$ og $x = b$ ?

FASIT

Finn først nullpunktene til $f$ og skriv opp alle nullpunktene i stigende rekkefølge. Regn deretter ut arealet på hvert delintervall og legg disse sammen.

5. Hvordan finner du arealet mellom grafene til to funksjoner $f$ og $g$ , fra linjen $x = a$ til linjen $x = b$ ?

FASIT

Først finner vi ut hvilken funksjon som ligger over den andre. Videre antar vi dette er funksjonen $f$ . Ved å regne ut $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ .

6. La $f (x) = 2 x$ og $g (x) = x^{2}$ . Finn arealet $A$ mellom grafene til funksjonene $f$ og $g$ fra $y$ -aksen til linjen $x = 1$ .

FASIT

$\frac{2}{3}$

Løsningsforslag:

$y$ -aksen er linjen $x = 0$ . I intervallet $[0, 1]$ ligger grafen til $f$ over grafen til $g$ .

$A$
$= \int_{0}^{1} (f (x) - g (x)) d x$
$= \int_{0}^{1} (2 x - x^{2}) d x$
$= [x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$
$= {(1}^{2} - \frac{1^{3}}{3}) - (0^{2} - \frac{0^{3}}{3})$
$= \frac{2}{3}$ .

Bestemt integral

Begreper

Bestemt integral

Integralregning

Oppgaver

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

Matematikk for studenter

Integrasjon

Består av: