Vinkler i ulike omløp

Definisjonen på radianer er lengden av buesektoren på enhetsirkelen spent av vinkelen, og dermed tenker vi gjerne på radianer som verdier mellom $0 \mathrm{og} 2\pi$. Men hva med verdier som $5\pi$, og $-13\pi$? Siden en hel omdreining er $2\pi$ radianer, begynner vi “på nytt igjen” utenfor intervallet $\left[0,2\pi \right)$. Merk at alle reelle tall kan skrives på formen

$r\pm 2n\pi$

for et heltall $n$. Vi kan velge $r$ i intervallet $\left[0,2\pi \right)$, og det tilsvarende tallet $n$ vil dermed fortelle oss i hvilket omløp vi er i. Vi definerer første omløp som vinkler i intervallet $\left[0,2\pi \right)$.

Eksempel 1

$5\pi$ radianer kan vi se på som “to runder rundt enhetsirkelen mot klokken, og deretter en halv runde til.” Dermed kan vi komme tilbake til første omløp ved å gå to runder tilbake, og vi merker at

$\pi =5\pi -2\cdot 2\pi =5\pi -4\pi .$
 

Eksempel 2

Tilsvarende gjør vi for $-13\pi$, vi legger til $7$ omløp og finner at

$\pi =-13\pi +7\cdot 2\pi =-3\pi +14\pi$.