Fra grader til radianer

Vinkelen som tilsvarer en full sirkel med radius $r$ er gitt ved forholdet mellom buelengden $b$, som er omkretsen $2\pi r$, og radiusen $r$, det vil si

$\frac{b}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$

Målt i grader er den samme vinkelen lik ${360}^{\circ }$, så vi får følgende sammenheng mellom vinkelmålene grader og radianer:

${360}^{\circ }=2\pi .$

Dette gir oss da at ${180}^{\circ }=\pi \mathrm{og} {90}^{\circ }=\frac{\pi }{2}.$

Eksempel 1

${270}^{\circ }\mathrm{er} \frac{3\pi }{2} \mathrm{radianer.}$

Vi vet at en full omdreining i grader er ${360}^{\circ }$, og at en full omdreining i radianer er $2\pi$. Dermed er $1$ grad gitt ved $\frac{2\pi }{360}$ radianer, og ${270}^{\circ }$ blir dermed

$\frac{2\pi \cdot 270}{360}=\frac{3\pi }{2} \mathrm{radianer.}$

Eksempel 2

Du husker kanskje formelen for lengden av en sirkelsektor: gitt en vinkel på ${\Phi }^{\circ }$ og en sirkel med radius $r$ er lengden $L$ gitt ved

$\Phi \cdot r\cdot \frac{\pi }{180}.$

Ved å sette $r=1$ får vi konverteringsformelen vår tilbake, noe som passer med definisjonen vi har gitt på radianer!

Vi legger videre merke til at vi drar med oss $60$-tallssystemet inn i radianenes verden også. Mange vinkler er ekstra pene målt i radianer, i den forstand at vi kan angi dem som brøkdeler av $\pi$.

Eksempel 3

${30}^{\circ }=\frac{{360}^{\circ }}{12}=\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}\left(\approx 0,52\right)$

Eksempel 4

${90}^{\circ }=\frac{{360}^{\circ }}{4}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}\left(\approx 1,57\right)$