Delte funksjoner og kontinuitet

Noen ganger har vi bruk for å «dele» funksjoner i to eller flere biter. Vi kan for eksempel tenke oss en funksjon $f$ som er slik at $f\left(x\right)=e^x$ for alle negative x-verdier, mens $f\left(x\right)=1-x$ når $x\ge 0$. I dette tilfellet skriver vi

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{e}^x,\\ 1-x,\end{array}$

for $x<0,$ for $x\ge 0,$

eller

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{e}^x,\\ 1-x,\end{array}$

for $x\in (-\infty ,0),$  $x\in [0,\infty )\mathrm{.}$

 

Slike funksjoner kaller vi funksjoner med delt forskrift, eller bare delte funksjoner. På figur 1 under, er grafen til $f$ tegnet inn. Her ser du tydelig hvordan grafen til $f$ endrer karakter i $x=0$. De punktene der funksjonsuttrykket skifter, kaller vi bruddpunktene til funksjonen.

Dersom grafen henger sammen i bruddpunktet (slik at du kan tegne grafen uten å løfte pennen fra papiret), sier vi at grafen er 

i bruddpunktet. I motsatt fall, som på figur 2 under, er grafen diskontinuerlig i bruddpunktet.

 

Figur 1: Grafen til $f\left(x\right)$. Grafen er kontinuerlig i bruddpunktet $x=0$.		Figur 2: En graf som er diskontinuerlig i bruddpunktet $x=0$.

 

Eksempel

Oppgave. En T-banebillett er gratis for barn under 4 år, koster 10 kr for barn (f.o.m 4 år t.o.m 15 år), 20 kr for voksne (16-66 år) og 10 kr for de fra 67 år og oppover. Skriv billettprisen $p$ som en funksjon av alderen $x$, og tegn grafen til $p$. (Alderen $x$ trenger ikke å være et heltall. En person kan f.eks. være 15,7 år.) 

Løsning. Observér først at siden en alder ikke kan være negativ, er definisjonsmengden til $p$ intervallet $[0,\infty )$. Beskrivelsen i teksten forteller at når $x$ er i intervallet

Figur 3: Billettprisen p uttrykt som funksjon av alderen $x$.

 

$[0,4)$, er $p\left(x\right)=0$. Videre er $p\left(x\right)=10$ når $x\in [4,16)$, $p\left(x\right)=20$ når $x\in [16,67)$, og $p\left(x\right)=10$ når $x\in [67,\infty )$. Dermed får vi at

$p\left(x\right)=$

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}0,\\ 10,\end{array}\\ \begin{array}{c}20,\\ 10,\end{array}\end{array}$

for $x\in [0,4),$ for $x\in [4,16),$ for $x\in [16,67),$ for $x\in [67,\infty )\mathrm{.}$

 

Siden funksjonsuttrykket er det samme i intervallene $[4,16)$ og $[67,\infty )$, kan vi skrive funksjonen enda mer kompakt –- om enn noe mindre leservennlig –- ved å bruke

$p\left(x\right)=$

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}0,\\ 10,\end{array}\\ 20,\end{array}$

for $x\in [0,4),$ for $x\in [4,16)\cup [67,\infty ),$ for $x\in [16,67)\mathrm{.}$

 

 

Grafen til $p\left(x\right)$ ser du i figur 3.