Georg Friedrich Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann var født i fyrstedømmet Hannover (i Tyskland), og døde i Italia. Riemanns far var prest, og den første skolegangen fikk Bernhard av ham; siden flyttet han hjemmefra for å gå på gymnasium i Lüneburg. Gutten var uvanlig begavet, og leste matematikkbøker langt ut over skolepensum. Legendres tallteori behersket han etter en ukes arbeid. Men skolegangen var ikke bare lykkelig, han var sjenert, lite selvsikker, og lengtet hjem. 19 år gammel begynte han ved universitetet i Göttingen for å studere teologi og filologi, slik faren ønsket. Men han tvilte på sine evner som predikant, og skiftet til matematikk og naturfag, selv om utsiktene til et levebrød da ble dårligere.

I Göttingen var det C. F. Gauss som styrte med matematikken. Han var verdensberømt, men 70 år gammel, og ikke svært interessert i undervisning. Riemann var også alt for beskjeden til å søke nærmere kontakt med en så opphøyet person. Miljøet i Berlin, med C. G. Jacobi og G. Dirichlet i spissen, var mer tilgjengelig, og Riemann tilbragte to år der. Doktorgraden tok han i Göttingen i 1851, og ble så "Privatdozent", det vil si at han underviste mot betaling fra studentene, etter et par år fikk han også et lite bidrag fra universitetet. Han brukte mye tid og strev på sin undervisning, men syntes det var vanskelig å tilpasse seg studentenes fatteevne.

Samtidig arbeidet han som assistent ved laboratorieundervisningen i fysikk. Det ledet til et nært vennskap med fysikeren Wilhelm Weber, og til forskning i elektrisitetslære, mekanikk og akustikk. Riemanns arbeide med lydbølger åpnet nye veier for studiet av sjokkbølger, mer generelt for håndtering av ikke-lineære partielle differensiallikninger. Et arbeid som han ikke rakk å fullføre gjaldt ørets mekanikk, et annet en felles teori for gravitasjon og elektromagnetisme.

Riemanns første trykte arbeid, doktoravhandlingen, ga nye geometriske synspunkter på teorien for funksjoner av en kompleks variabel. Problemet med "flertydige funksjoner" (kvadratrøtter er de enkleste), taklet han ved å definere dem på det som nå heter en Riemannsk flate i stedet for bare i det komplekse planet. Han bygget mye på at disse funksjonene er vinkelbevarende (konforme), og altså oppfyller "Cauchy-Riemanns differensiallikninger", og på at de er entydig bestemt overalt så snart de er kjent på et lite linjestykke. Et berømt enkeltresultat er "Riemanns avbildningssats". Ideene fra denne avhandlingen brukte han senere til å videreføre Abels og Jacobis arbeider om algebraiske integraler og Gauss' om hypergeometriske rekker.

Også Riemanns eneste arbeide i tallteori (9 sider!) bygger på funksjonsteorien. Euler hadde 100 år tidligere observert at summen av alle $\frac{1}{ns}$, der n gjennomløper de naturlige tallene, og s er et gitt tall større enn 1, har nær sammenheng med hvordan primtallene er fordelt. Riemann viste at denne summen, som funksjon av s, faller sammen med en funksjon som er definert for alle komplekse s, unntatt s =1. Den heter nå Riemanns zeta-funksjon. Han fant at den er lik null når s er et negativt partall, og at alle dens andre nullpunkter har sin realdel mellom 0 og 1. Det ga ham en rekkeutvikling for fordelingsfunksjonen for primtallene, og støttet opp kjente gjetninger av Gauss og Legendre. Riemann gjettet at alle de komplekse nullpunktene har realdel eksakt lik $\frac{1}{2}$, og det har senere vist seg at hvis det er riktig, vil man kunne si mye mer om primtallene. Men denne "Riemanns hypotese" er fortsatt ubevist (2003), og står som en av de store utfordringene for våre dagers matematikere.

For å bli privatdosent måtte han levere en avhandling kalt "habilitasjonsskrift" og holde en prøveforelesning. Som tema for avhandlingen valgte han trigonometriske rekker. Emnet var grundig studert tidligere, og Riemann innledet med en meget leseverdig historikk, som munner ut i et helt fundamentalt spørsmål: Hva menes egentlig med "integralet av en funksjon"? Cauchys definisjon av integralet er god nok så lenge det bare er snakk om kontinuerlige funksjoner, men den er ubrukelig hvis man ikke vet på forhånd at funksjonen man vil integrere er kontinuerlig. Det gjelder blant annet summer av trigonometriske rekker. Riemann snudde på problemet og undersøkte hva som må kreves av en funksjon for at det skal ha en fornuftig mening å snakke om å integrere den. Det førte ham til det som nå heter "Riemann-integralet", til en bedre teori for Fourierrekker, og, minst like viktig, til nye synspunkter på integrasjonsteorien.

Til prøveforelesningen for "habilitasjonen" skulle han foreslå tre emner som fakultetet, i praksis Gauss, skulle velge mellom. To av dem hadde han noenlunde klare, det tredje, om geometriens grunnlag, var bare en løs skisse. Gauss valgte dette siste, visstnok fordi han ville se hva en så ung mann kunne gjøre ut av et så vanskelig emne. Foredraget, "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen" ("Om hypotesene som geometrien bygger på"), ble et av de mest berømte i matematikk-historien. Tanker som Riemann la fram der ble grunnleggende i senere geometrisk arbeid, blant annet Einsteins generelle relativitetsteori.

Gauss døde i 1855, hans etterfølger Dirichlet døde 4 år deretter, og i 1859 ble Riemann professor, med fast stilling, fast lønn, og bolig i observatoriet. Da kunne han gifte seg (i 1862, med en venninne av søstrene sine) og året etter fikk paret en datter. Dessverre ble gleden kortvarig, han hadde tuberkulose, og selv om han i sine siste år var mye i Italia, der klimaet var bedre enn i Göttingen, døde han allerede i 1866, i en liten by ved Lago Maggiore.