Pytagoras og Diofant

Du har kanskje hørt om Pytagoras? Pytagoras levde 572-497 f. Kr. og var læremester og leder for en gruppe av elever som ble kalt pytagoreerne. De var opptatt av tall og tallmystikk. En av deres hovedteser var at "alt er laget av tall". Pytagoreerne talte småstein som de la utover bakken. På den måten lærte de seg forskjellen på partall og oddetall. Et partall småstein i en lang rekke kunne deles opp i to like lange rekker ved siden av hverandre, noe ikke oddetallene kunne. For oss er dette trivialiteter. De var også opptatt av kvadrattall, og de gjorde noen enkle iakttakelser ved å legge småstein i et kvadratmønster. De begynte med 1 og fikk neste kvadrattall ved å legge til 2n +1 for n = 1, 2, 3, osv.

Figur 1: De fire første kvadrattallene, n=1, 2, 3 og 4.

Dermed fikk de ut resultatet som sier at alle kvadrattall kan finnes i følgen av tall gitt ved

1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, ....

Pytagoreerne lekte også med andre tall enn kvadrattallene, f.eks. trekanttallene:

Figur 2: De fire første trekanttallene.

altså 1, 1+2, 1+2+3, ...osv, og de såkalte avlange tallene n(n+1) dvs 2, 6, 12,....

Figur 3: De fire første avlange tallene.

som kan skrives som

2, 2+4, 2+4+6, ...

Dermed kan vi formulere en setning:

Ethvert avlangt tall er det dobbelte av et trekanttall.

Beviset for setningen er tegnet inn i figur 4!

Figur 4: Ethvert avlangt tall er det dobbelte av et trekanttall.

Pytagoreerne var også opptatt av summer av kvadrater, spesielt om summen av to kvadrater igjen var et kvadrat. Når kunne de ta sine småstein som var lagt ut i to kvadrater, blande dem sammen og legge de ut i et større kvadrat? I moderne språk kan vi skrive dette som

$n^2+m^2=p^2$,

og dermed er vi tett ved vår vanlige assosiasjon til Pytagoras. Det som kalles Pytagoras' læresetning er en slags geometrisk versjon av dette, nemlig at i en rettvinklet trekant er kvadratsummen av katetene lik kvadratet av hypotenusen. Selv om dette kalles Pytagoras' læresetning er man ikke sikker på om det egentlig var Pytagoras som formulerte den først.

Alle som har drevet trekantberegninger med Pytagoras' setning, vet at det finnes rettvinklede trekanter med sider 3, 4 og 5, dvs.

$3^2+4^2=5^2$.

Ganger vi hver av sidene med den samme faktoren, får vi nye relasjoner - multipliserer vi hvert tall med 2, får vi

$6^2+8^2={10}^2$.

Men det finnes også slike relasjoner som ikke framkommer gjennom forstørrelse av den opprinnelige figuren; f.eks.

$5^2+{12}^2={13}^2$.

Et trippel (x,y,z) av naturlige tall kalles et pytagoreisk trippel dersom

$x^2+y^2=z^2$.

Vi skal bruke geometrisk terminologi og kalle x og y katetene og z hypotenusen i triplet. Vårt mål er å finne alle pytagoreiske tripler.

Dette problemet har dype historiske røtter. I 1937 tydet matematikkhistorikeren Otto Neugebauer en babylonsk leirtavle ("Plimpton 322") fra ca. 1700-1800 f.Kr. som viste seg å inneholde en tabell over Pytagoreiske tripler.
Også pytagoreerne (ca. 500 f.Kr.) var interessert i slike tripler, og de hadde mer spesielle formler som ga mange (men ikke alle) eksempler. Blant annet brukte de formelen

 ${(m^2-1)}^2+{\left(2m\right)}^2={(m^2+1)}^2$.

Den endelige løsningen fikk problemet hos Diofant (som sannsynligvis levde rundt 300 e.Kr.). I sin bok "Arithmetika" viser han at alle primitive pytagoreiske tripler framkommer ved å velge passende verdier for p og q i formelen

${(p^2-q^2)}^2+{\left(2pq\right)}^2={(p^2+q^2)}^2$.

Vi kan sette opp en liste over pythagoreiske tripler ved å bruke denne formelen. Triplene skriver vi på formen

$(p^2-q^2,2pq,p^2+q^2)$

for forskjellige verdier av p og q. Et pytagoreisk trippel er primitivt dersom 1 er den største felles faktoren til x, y og z. I tabellen under er primitive tripler er uthevet.