Stambrøker

Stambrøker ("unit fractions" på engelsk) er brøker med teller lik 1, for eksempel $\frac{1}{6}$ og $\frac{1}{52}$. Videre kaller vi en sum av distinkte (forskjellige) stambrøker en egyptisk brøk. For eksempel er $\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$ en egyptisk brøk, mens $\frac{1}{5}+\frac{1}{5}$ ikke er det.   

Sidevegg på en Egyptisk sarkofag. (Foto: Frode Storaas)

I det gamle Egypt regnet man bare med stambrøker (unntak var $\frac{2}{3}$, som de brukte veldig ofte, og $\frac{3}{4}$, som de også brukte, om enn ikke så ofte). Dette vet vi fra den berømte Rhindpapyrusen, datert til rundt 1650 f.Kr. Den inneholder blant annet en tabell av representasjoner av brøkene $\frac{2}{n}$ for odde n mellom 5 og 101 som en sum av stambrøker (derav navnet egyptisk brøk).

Det er uklart hvorfor egypterne valgte denne metoden for å representere brøker, men idag vet vi at enhver brøk har representasjoner som en egyptisk brøk med så mange termer man ønsker, og med så store nevnere man ønsker.

Eksempel: Uttrykket

$\frac{3}{17}=\frac{1}{6}+\frac{1}{102}$

er en representasjon av brøken $\frac{3}{17}$ som en egyptisk brøk med to termer, mens

$\frac{3}{17}=\frac{1}{12}+\frac{1}{18}+\frac{1}{36}+\frac{1}{102}$

er en representasjon av samme brøk med fire termer.
Når vi bruker uttrykket 'representasjon av en brøk', mener vi en representasjon av brøken som en sum av stambrøker (dvs. en egyptisk brøk). I denne artikkelen vil vi blant annet forklare nærmere hvordan vi finner slike representasjoner.

Vi merker oss også at for et gitt antall termer fins det bare endelig mange representasjoner. For eksempel viser det seg at hvis vi ønsker en representasjon av $\frac{2}{9}$ med to termer, fins det kun to muligheter:
$\frac{1}{5}+\frac{1}{45}$ og $\frac{1}{6}+\frac{1}{18}$.

Det er to meget gode grunner for å bruke (mye tid på) egyptiske brøker (Vi vet at brøker er et tema mange sliter med.):

• Lettere å dele i praksis:

La oss si at vi har syv sekker med korn som skal deles på 12 personer. Hvor mye skal de ha hver? Jo, $\frac{7}{12}$, men hvordan gjør vi det rent praktisk? Vi gir først en halv sekk til hver. Da har vi en sekk igjen som må deles på 12. Vi har altså gjort $\frac{7}{12}=\frac{1}{2}+\frac{1}{12}$. Hva med fem sekker på åtte personer?

• Lettere å sammenligne brøker:

Hva er størst av $\frac{4}{7}$ og $\frac{5}{8}$? Hva er størst av $\frac{3}{11}$ og $\frac{2}{7}$?
Ved å skrive brøkene som egyptiske brøker, er det lettere å sammenligne ved at vi kan sammenligne stambrøker isteden :
$\frac{4}{7}=\frac{1}{2}+\frac{1}{14}$, mens
$\frac{5}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}$, og videre er
$\frac{3}{11}=\frac{1}{4}+\frac{1}{44}$, mens
$\frac{2}{7}=\frac{1}{4}+\frac{1}{28}$.

Vi har nå sett flere eksempler på egyptiske brøker, og vi er vel kanskje også overbevist om at de er nyttige, så neste spørsmål blir "hvordan finner vi dem?" Før jeg gir én mulig metode, vil jeg kort vise hvordan vi, ved hjelp av et triks, kan skrive en brøk som en egyptisk brøk på uendelig mange måter, bare vi har funnet én representasjon:

Påstanden er altså: Enhver brøk har et uendelig antall representasjoner som en egyptisk brøk.

Trikset er å ta utgangspunkt i identiteten

$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$

Hvis vi deler denne identiteten på et tall n, får vi

$\frac{1}{n}=\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{6n}$

og dermed har vi en representasjon av en hvilken som helst stambrøk $\frac{1}{n}$ som en egyptisk brøk. Denne representasjonen kan vi da bruke om og om igjen på stambrøkene som dukker opp i representasjonen av en hvilken som helst brøk, og hvis vi hele tiden bruker denne på den minste stambrøken, unngår vi å få repeterende stambrøker. For eksempel:

$$\begin{gathered} \frac{3}{8}=\frac{1}{3}+\frac{1}{24} \\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{48}+\frac{1}{72}+\frac{1}{144} \\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{48}+\frac{1}{72}+\frac{1}{288}+\frac{1}{432}+\frac{1}{864} \end{gathered}$$

Endelig skal vi nå gi en metode for å skrive enhver ekte brøk (dvs. brøk mindre enn 1) som en egyptisk brøk (sum av distinkte stambrøker). Metoden kalles Fibonaccis metode, og metoden med bevis er gitt i hans bok "Liber Abaci" fra 1202, forøvrig der kaninproblemet som ga opphav til fibonaccitallene også står.

Fibonaccis metode (også kalt 'den grådige algoritmen'):
La $\frac{a}{b}<1$, der a og b er positive heltall. Hvis a = 1, er brøken en stambrøk, og vi trenger ikke å gjøre noe, så anta at a > 1.

Hvis vi skriver en brøk $\frac{a}{b}$ som en sum av flere mindre brøker, kalles brøkene i summen summandene i brøken $\frac{a}{b}$. For eksempel er både $\frac{1}{5}$ og $\frac{2}{3}$ summander i $\frac{13}{15}$ siden $\frac{13}{15}=\frac{1}{5}+\frac{2}{3}$.

Fibonaccis metode går ut på å finne den største stambrøken som er en summand i brøken $\frac{a}{b}$ og trekke denne fra $\frac{a}{b}$ (derav navnet grådig). Med resten som gjenstår, repeteres prosessen. Vi må vise at denne følgen av stambrøker alltid synker, aldri repeterer brøker, og at den stopper .

Før vi gjør dette formelt, la oss ta et eksempel: Vi vil skrive $\frac{5}{21}$ som en egyptisk brøk ved hjelp av Fibonaccis metode. Først finner vi den største stambrøken som er en summand. Siden 21:5 er litt over 4, må den største stambrøken være $\frac{1}{5}$. (Når vi runder opp til 5, får vi automatisk den største stambrøken som er en summand: $\frac{1}{4}$ er for stor - vi kan ikke skrive $\frac{5}{21}=\frac{1}{4}+noe$. I Fibonaccis metode runder vi dermed alltid opp.) Dermed får vi:

$\frac{5}{21}=\frac{1}{5}+\frac{r}{s}$

Vi skal nå gjenta dette med brøken $\frac{r}{s}$. Da må vi først finne $\frac{r}{s}$. Vi regner ut (uten kalkulator!) at

$\frac{r}{s}=\frac{5}{21}-\frac{1}{5}=\frac{4}{105}$.

Vi må så finne den største stambrøken i $\frac{4}{105}$. Siden 105:4 er litt over 26, blir stambrøken 1/27 (runder opp), altså har vi

$\frac{5}{21}=\frac{1}{5}+\frac{1}{27}+\frac{u}{v}$

Vi fortsetter prosessen med $\frac{u}{v}$, og må dermed finne $\frac{u}{v}$. Vi regner ut (igjen uten kalkulator) at $\frac{u}{v}=\frac{5}{21}-\frac{1}{5}-\frac{1}{27}=\frac{1}{945}$, og dermed har Fibonaccis metode gitt oss en egyptisk brøk:

$\frac{5}{21}=\frac{1}{5}+\frac{1}{27}+\frac{1}{945}$

Vi viser til slutt hvorfor metoden virker: Vi ønsker altså å skrive

$\frac{a}{b}=\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n_s}$

der $n_1<n_2<\mathrm{...}<n_s$ og der vi altså velger den største stambrøken hver gang. Med symboler har vi dermed at $\frac{1}{n_1}<\frac{a}{b}$, men at $\frac{1}{n_1-1}>\frac{a}{b}$ (se på eksempelet over, der $n_1=5$ og dermed $n_1-1=4$). Videre, siden a > 1, er hverken $\frac{1}{n_1}$ eller $\frac{1}{n_1-1}$ lik $\frac{a}{b}$.

La oss se på restbrøken $\frac{a}{b}-\frac{1}{n_1}=\frac{a{n}_1-b}{b{n}_1}$. Vi påstår at $a{n}_1-b<a$, dvs. at tellerne i restbrøkene blir mindre og mindre: Fra før har vi $\frac{1}{n_1-1}>\frac{a}{b}$, og ved å manipulere denne ulikheten, får vi $a>a{n}_1-b$. Hvis nå telleren $a{n}_1-b$ er 1, har vi en stambrøk, og vi er ferdige. Hvis ikke, fortsetter vi prosessen med $\frac{a{n}_1-b}{b{n}_1}$, som har en (ekte) mindre teller enn brøken vi startet med. Når vi trekker fra den største stambrøken, blir den nye restbrøken enda mindre (ved samme argument som over). Siden a er et positivt heltall, må telleren i restbrøkene før eller siden bli 1. Dermed fungerer metoden, og vi har vist påstanden vår (Fibonaccis metode gir oss én egyptisk brøk som vi kan bruke til å finne uendelig mange andre egyptiske brøker ved trikset over).

Prøv ut metoden på brøkene $\frac{4}{11}$ og $\frac{5}{11}$. Svarene finner du nedenfor. Avslutningsvis merker vi oss at Fibonaccis metode alltid vil gi en egyptisk brøk, men ikke nødvendigvis den korteste (med færrest mulig termer). I dag lever vi i dataalderen, og det finnes (naturlig nok) mer effektive metoder som er implementert i diverse regneprogrammer.

Referanser:
Se for eksempel hjemmesiden til Ron Knott.

Svar:
$\frac{4}{11}=\frac{1}{3}+\frac{1}{33}$,
$\frac{5}{11}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{99}$.