Bevis innen tallteori

Fra boka "Solving Mathematical Problems", oversatt av Nils Voje Johansen.

Dette er et klart begrenset problem. Det finnes bare rundt 900 tresifrete tall, så i teorien kunne vi sette oss ned og regne etter for å se om det stemmer. Men la oss se om vi kan unngå den slags grisearbeid.

For det første virker selve studieobjektet vårt litt fremmed: Vi ønsker å se på tall som skal være delelig med tverrsummen. La oss forsøke å få det hele på matematisk form, slik at vi lettere kan behandle (manipulere) det. Et tresifret tall kan skrives på formen abc10, hvor a, b og c er siffer. Vi benytter skrivemåten abc10 for ikke å blande det sammen med abc – legg da merke til at vi bestemmer at abc10 = a·100 + b·10 + c, mens abc = a·b·c. Det finnes en standard skrivemåte for å uttrykke at tallet a deler tallet b (altså at a går opp i b), den ser slik ut: a|b. Benytter vi denne skrivemåten kan problemet vårt omskrives til formen

(a + b + c)|abc10          (1)

hvor abc10 er sifrene i et av de 18 tallene. Kan vi nå redusere, forenkle eller gjøre noe annet med dette uttrykket? Det er mulig å få til noe, men ikke noe som ser vettugt ut (som for eksempel en brukbar likning som forbinder a, b og c direkte). Faktum er at (1) er et grusomt uttrykk å arbeide med, selv om vi forsøker å erstatte abc10 med a·100 + b·10 + c.

Jukser vi litt og ser på de tallene som løser (1) vil vi finne at det er

100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, ..., 990, 999.

De ser ved første øyekast tilfeldige og vilkårlige ut. Det kan imidlertid se ut til at de forekommer ofte nok til at ethvert utvalg av 18 påfølgende tall vil inneholde minst ett av dem. Men har 18 noen signifikant betydning? La oss anta at 18 ikke er valgt for å villede (at det samme for eksempel også ville være tilfelle for 13 påfølgende tall) – hvilken betydning har da 18? Noen av dere vil kanskje huske at 9 kan skape en forbindelse mellom et tall og tverrsummen av tallet (for eksempel vil et tall og tallets tverrsum få samme rest dersom vi dividerer med 9), og tallet 9 er jo i sin tur forbundet med 18. Det kan altså være en slags forbindelse her. Men til tross for dette har vi ikke klart å uttrykke noe som fanger opp delelighet samt at vi er interessert i påfølgende tall. Det kan derfor se ut som vi må reformulere oppgaven eller se på en beslektet oppgave for å komme videre.

La oss begynne med å se etter alt som kan ha med tallet 9 å gjøre. Hvis vi ser på løsningene av (1) legger vi merke til at mange er multiplum av 9, og enda flere er multiplum av 3. Ser vi nøyere etter i lista er det faktisk bare tre unntak, 100, 110 og 112. Kanskje vi derfor skulle forlate formuleringen

I ethvert utvalg av 18 påfølgende tall vil minst ett tilfredsstille (1)

og i stedet forsøke oss på

I ethvert utvalg av 18 påfølgende tall finnes det et multiplum av 9 som tilfredsstiller (1).

Dette leder oss i en retning som ser lovende ut, og det bygger bro mellom studiemengden vår (18 påfølgende tall) og kravet (at minst ett tall tilfredsstiller (1)), siden 18 påfølgende tall alltid vil inneholde et multiplum av 9 (i realiteten inneholder det jo to slike multiplum). Tallteoretiske argumenter og erfaring fra prøving har jo dessuten vist oss at multiplum av 9 ofte tilfredsstiller (1). Metoden med å formulere en hjelpeoppgave er ofte den beste måten å forene to utsagn som fremstår som ”uvennlige”.

Det viser seg nå at denne hjelpeoppgaven (hvor vi betrakter multiplum av 9) virkelig fungerer, men det trengs litt arbeid for å sikre at vi dekker alle muligheter. Det viser seg faktisk at det er bedre å se på multiplum av 18. Vi har altså følgende lille plan:

se på 18 påfølgende tall ⇒ se på et multiplum av 18 ⇒ få en løsning av (1)

Det er to grunner til denne endringen:

18 påfølgende tall vil alltid inneholde ett multiplum av 18, men det vil være være to multiplum av 9. Det ser derfor penere ut, og virker riktigere, å benytte multiplum av 18 enn multiplum av 9. Hvis vi bare benyttet multiplum av 9 for å løse oppgaven ville det jo si at oppgaven bare trengte å ta for seg 9 påfølgende tall i stedet for 18.
Det burde være lettere å vise (1) ved hjelp av multiplum av 18 i stedet for multiplum av 9, siden multiplum av 18 jo ikke er annet enn spesialtilfeller av multiplum av 9. Det viser seg også at multiplum av 9 ikke alltid fungerer (se for eksempel på 909), men multiplum av 18 vil alltid fungere – som vi skal se.
Hvorom allting er, eksperimentering viser at multiplum av 18 alltid fungere, men hvorfor det? La oss for eksempel se på 216, som jo er et multiplum av 18. Tverrsummen er 9, og 9 deler 216 fordi 18 deler 216. La oss se på nok et eksempel, 882 er et multiplum av 18, og tverrsummen er 18. Siden 882 er et multiplum av 18 vil tverrsummen helt åpenbart dele 882. Tar vi for oss flere tall som er multiplum av 18 ser vi tverrsummen alltid er 9 eller 18, som jo selvsagt vil dele det opprinnelige tallet.

Med denne bakgrunnen forsøker vi oss nå på et bevis:

BEVIS

Innenfor 18 påfølgende tresifrete tall må ett være et multiplum av 18, la oss kalle det abc10. Fordi abc10 da også blir et multiplum av 9, så må a + b + c være et multiplum av 9. (Husk: Et tall er bare delelig med 9 dersom tverrsummen er delelig med 9). Siden a + b + c bare kan anta verdier mellom 1 og 27 må a + b + c være enten 9, 18 eller 27 (husk at tverrsummen skal være delelig med 9). Her vil 27 bare forekomme når abc10 = 999, men det er ikke noe multiplum av 18. Altså må a + b + c være enten 9 eller 18. Siden 9 og 18 alltid vil dele et multiplum av 18 vet vi at (a + b + c)|abc10.