Regulære mangekanter

Platon var filosof og vitenskapsmann. Skriftene etter ham er samlet i en rekke dialoger, ofte med Sokrates som en av samtalepartnerne. I disse dialogene diskuterer Platon hvordan han mener at alle jordiske og naturlige fenomener er avskygninger av idéer eller former. Han skilte mellom en idé og hvordan den blir realisert, eller forsøkt realisert. For eksempel diskuteres i dialogen "Staten" hvordan en stat kan organiseres best mulig, når en tenker uavhengig av en konkret situasjon eller et konkret land. I geometri er det nærliggende å tenke på forskjellen på ideelle former og realiseringer. Sirkelen er en slik form, mens hver sirkel som vi tegner eller konstruerer er en tilnærming som vi kan tenke på som en avskygning av den ideelle eller perfekte sirkelen. Selv med det mest nøyaktige instrument klarer en ikke å tegne en perfekt sirkel, bare en (veldig god) tilnærming. På samme måte er det med perfekte eller regulære mangekanter. De platonske legemene er perfekte geometriske figurer. Disse var kjent lenge før Platon. Euklid har viet den trettende av sine bøker i geometri til disse figurene, så alt i antikken var de på en måte allemannseie. Når de likevel har fått navn etter Platon så er det fordi de på en slående måte er eksempler på platonske ideer.

Platonske legemer er satt sammen av perfekte eller regulære mangekanter. Selv om det kunne være fristende å velge adjektivet "perfekt", vil vi bruke "regulær" siden det er det som er vanlig.

Regulære mangekanter

En trekant består av tre kanter og har tre hjørner, der kantene møtes. To kanter som møtes i et hjørne kaller vi nabokanter eller bare naboer. En firkant har fire kanter og fire hjørner. I firkanten er det kanter som er naboer, og kanter som ikke er naboer. En firkant har også to diagonaler. Hvis vi bytter ut to kanter som ikke er naboer med de to diagonalene, får vi igjen fire kanter. Men dette vil vi ikke kalle en firkant, fordi to av kantene som ikke er naboer skjærer hverandre. I en mangekant møtes nabokanter i et
hjørne, mens kanter som ikke er naboer møtes ikke, de skal ikke skjære hverandre!

Til venstre: Fire kanter med ikke-naboer som skjærer hverandre (det er da ikke en firkant). Til høyre: Firkant.

Prøv å tegne fem kanter slik at dette ikke stemmer. En n-kant har n kanter og n hjørner, og er slik at kanter som ikke er naboer heller ikke skjærer hverandre. Dette kan vi også si på en annen måte. Det området som er avgrenset av en trekant, kaller vi ofte også trekanten, eller det indre av trekanten. På samme måte er det med firkanten, den har et indre område. Hver kant er grensen mellom det indre området og det ytre, det som er utenfor firkanten. Med mer enn fire kanter er det ikke slik dersom kantene krysser hverandre. I en n-kant, som vi har definert dem over, er det imidlertid alltid slik at den avgrenser et område slik at hver kant er en grense mellom dette indre området og det ytre.

De to nabokantene som møtes i et hjørne danner en vinkel, som vi kaller kantvinkelen. Denne vinkelen måler vi i det indre av mangekanten.

Kantvinkel

Kantvinkel som er større enn 180 grader.

Kantvinkel (v) og suplementvinkel (180-v).

Da kan kantvinkelen være hva som helst mellom 0º og 360º, i hvert fall hvis det er mer enn 3 kanter i alt. Dersom vinkelen er mer enn 180º går på en måte hjørnet innover i mangekanten.

I de enkleste mangekantene, for eksempel trekantene, er alle kantvinklene mindre enn 180º. De regulære mangekantene som vi nå skal beskrive er andre eksempler på mangekanter der alle kantvinklene er mindre enn 180º.
En regulær mangekant er en mangekant der alle kantene er like lange og alle kantvinklene er like store. En regulær trekant er altså en likesidet trekant, mens en regulær firkant er et kvadrat. Legg merke til at for trekanten er kantvinklene like store så snart kantene er like lange, og omvendt er kantene like lange så snart kantvinklene er like
store. For firkanten er dette ikke tilfelle. Et rektangel har fire like store kantvinkler, mens kantene bare parvis er like lange. På den andre siden er en rombe et parallellogram
med fire like lange kanter, men bare parvis like store kantvinkler. Derfor må vi kreve at både kantene og kantvinklene skal være like store for å kalle mangekanten regulær (eller perfekt).
I en likesidet, regulær trekant er alle kantvinklene 60º. I kvadratet er alle kantvinklene 90º. Siden alle kantvinklene er like i en regulær femkant eller helt generelt i en regulær n-kant, skal vi finne en formel for denne kantvinkelen. Vi kaller denne kantvinkelen v_n. I hvert hjørne er vinkelen v_n mindre enn 180º. Differensen 180º-v_n kalles supplementvinkelen til v_n.

Når vi beveger oss langs kanten til en mangekant og kommer til et hjørne er denne supplementvinkelen akkurat den vinkelen vår bevegelse forandrer retning med når vi fortsetter langs nabokanten. Fortsetter vi slik rundt hele n-kanten har vi forandret retning n ganger. Siden vi ender opp med samme retning som vi startet er den totale retningsforandringen 360º. Altså får vi

$n(180º-v_n)=360º$

som betyr at

$n\cdot v_n=180º\cdot n-360º=180º(n-2)$

kantvinkelen i en regulær n-kant blir altså

$v_n=180º(1-\frac{2}{n})$

For n = 3,4,5,..., 10 får vi

v_n = 60º, 90º, 108º, 120º, 128.57º, 135º, 140º, 144º.

Den måten vi regnet ut kantvinkelen på kan brukes til å finne en formel for summen av kantvinklene i en vilkårlig mangekant. Så lenge vi begrenser oss til det enkle tilfellet at alle kantvinklene er mindre enn 180º kan vi argumentere på samme måte som over: Når vi beveger oss langs kanten, vil vår retning forandre seg med 180º-v der v er kantvinkelen i det hjørnet vi passerer. Dersom kantvinklene i en mangekant er $u_1,u_2,\mathrm{...},u_n$ , vil den totale retningsforandringen når en kommer helt rundt være

$(180º-u_1)+(180º-u_2)+\mathrm{...}+(180º-u_n)=180º\cdot n-(u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n)$.

Siden den totale retningsforandringen selvfølgelig er 360º får vi

$180º\cdot n-(u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n)=360º$,

altså at

$(u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n)=180º\cdot n-360º=180º(n-2)$.

For trekanter får vi at summen av kantvinklene er 180º, som vi kjenner fra før. For firkanter er summen av vinklene 360º, for femkanter er summen av vinklene 540º og så videre.