Første ordens lineære differensiallikninger

Videoen forklarer første ordens lineære differensiallikninger og viser et eksempel på hvordan slike likninger kan løses.

Rettighetshaver: UiO / UiO

Begreper

Differensiallikning

En likning hvor den ukjente er en funksjon og der den deriverte, funksjonens differensialkvotient, inngår.

Et eksempel er y'' - y = 0 eller $\frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}} - f (x) = 0$

Differensiallikning

Oppgaver

1. Er likningen $y' + x^{2} y = x$ en første ordens lineær differensiallikning?

FASIT

Ja.

En første ordens lineær differensiallikning er på formen $y' + f (x) y = g (x)$ der $f$ og $g$ er gitte funksjoner. Med $f (x) = x^{2}$ og $g (x) = x$ ser vi at dette er tilfellet i likningen ovenfor.

2. Vis at funksjonen $y$ gitt ved $y (t) = 12 + C e^{- t}$ , der $C \in ℝ$ , oppfyller differensiallikningen $y' + y = 12$ .

FASIT

$y (t) = 12 + C e^{- t}$ og $y' (t) = - C e^{- t}$

$y' + y = 12 + C e^{- t} - C e^{- t} = 12$

3. Vis at funksjonene $y$ gitt ved $y (x) = C e^{- \frac{3}{2} x} + 6$ , der $C \in ℝ$ , oppfyller differensiallikningen $2 y' + 3 y = 18$ .

FASIT

$y (x) = C e^{- \frac{3}{2} x} + 6$ og $y' (x) = - \frac{3}{2} C e^{- \frac{3}{2} x}$

$2 y' + 3 y = 2 (- \frac{3}{2} C e^{- \frac{3}{2} x}) + 3 (C e^{- \frac{3}{2} x} + 6) = 18$

4. La $y' = - 5 y$ . Skriv likningen på formen $y' + f (x) y = g (x)$ .

FASIT

$y' + 5 y = 0$

Så $f (x) = 5$ og $g (x) = 0$ .

5. Løs differensiallikningen $y' + 5 y = 0$ .

FASIT

$y (x) = C e^{- 5 x}$

Løsningsforslag:

$y' + 5 y = 0$

$y' e^{5 x} + 5 y e^{5 x} = 0$

$(y e^{5 x})' = 0$

$y e^{5 x} = C$

$y (x) = C e^{- 5 x}$

6. Vis at funksjonen $y$ gitt ved $y (x) = 2 e^{- 5 x}$ er en løsning av differensiallikningen i oppgave 5.

FASIT

$y (x) = 2 e^{- 5 x}$ og $y' (x) = - 10 e^{- 5 x}$

$y' + 5 y = - 10 e^{- 5 x} + 5 \cdot 2 e^{- 5 x} = 0$

7. La $y' = 1 - y^{2}$ . Skriv likningen på formen $y' + f (x) y = g (x)$ .

FASIT

Dette er ikke mulig.

Siden vi har $y^{2}$ klarer vi ikke å få leddet $f (x) y$ , der $y$ er i første potens.

8. La $y' = 1 - y$ . Skriv likningen på formen $y' + f (x) y = g (x)$ .

FASIT

$y' + y = 1$

Så $f (x) = 1$ og $g (x) = 1$ .

9. Løs differensiallikningen $y' + y = 1$ .

FASIT

$y (x) = 1 + C e^{- x}$

Løsningsforslag:

$y' + y = 1$

$y' e^{x} + y e^{x} = e^{x}$

$(y e^{x})' = e^{x}$

$y e^{x} = \int_{}^{} e^{x} dx$

$y e^{x} = e^{x} + C$

$y (x) = 1 + C e^{- x}$

10. Vis at funksjonene $y$ gitt ved $y (x) = 1 + C e^{- x}$ , der $C \in ℝ$ , er en løsning av differensiallikningen i oppgave 8.

FASIT

$y (x) = 1 + C e^{- x}$ og $y' (x) = - C e^{- x}$ .

$y' + y = 1 + C e^{- x} - C e^{- x} = 1$

11. La $y = y (t)$ . Løs differensiallikningen $y' + \frac{y}{t} = t$ .

FASIT

$y (t) = {\frac{1}{3} t}^{2} + \frac{C}{t}$

Løsningsforslag:

$y' + \frac{1}{t} y = t$

Integrerende faktor: $e^{\int_{}^{} \frac{1}{t} dt} = t$

$y' t + y = t^{2}$

$(y t)' = t^{2}$

$y t = \int_{}^{} t^{2} dt$

$y t = \frac{1}{3} t^{3} + C$

$y (t) = \frac{1}{3} t^{2} + C t^{- 1}$

12. Løs differensiallikningen $y' - \frac{y}{t} = t$ .

FASIT

$y (t) = t^{2} + C t$

Løsningsforslag:

$y' - \frac{1}{t} y = t$

$y' t^{- 1} - y t^{- 2} = 1$

$(y t^{- 1})' = 1$

$y t^{- 1} = t + C$

$y (t) = t^{2} + C t$

Del på Facebook

Del på Facebook

Matematikk for studenter

Difflikninger

Består av: