Separable differensiallikninger

Videoen forklarer separable differensiallikninger og viser et eksempel på løsning av en slik likning med initialbetingelse.

Rettighetshaver: UiO / UiO

Begreper

Differensiallikning

En likning hvor den ukjente er en funksjon og der den deriverte, funksjonens differensialkvotient, inngår.

Et eksempel er y'' - y = 0 eller $\frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}} - f (x) = 0$

Differensiallikning

Oppgaver

1. Er likningen $y (1 + e^{- y}) y' = x^{2} + \ln 3$ en separabel differensiallikning?

FASIT

Ja. En differensiallikning er separabel hvis den er på formen $p (y) y' = q (x)$ der $p$ og $q$ er gitte funksjoner. Med $p (y) = y (1 + e^{- y})$ og $q (x) = x^{2} + \ln 3$ ser vi at likningen over er en separabel differensiallikning.

I dette eksempelet er $y$ en funksjon av variabelen $x$ . Vi bruker forkortelsene $y'$ og $y$ , for $y' (x)$ og $y (x)$ når vi løser differensiallikninger.

2. Løs den separable differensiallikningen $y' = 3$ .

FASIT

$y (x) = 3 x + C$

Løsningsforslag:

$y' = 3$

$\int_{}^{} y' dx = \int_{}^{} 3 dx$

$\int_{}^{} \frac{dy}{dx} d x = \int_{}^{} 3 dx$

$\int_{}^{} dy = \int_{}^{} 3 dx$

$y (x) = 3 x + C$

3. Løs den separable differensiallikningen $y' = x$ .

FASIT

$y (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

4. Vis at funksjonen $y$ gitt ved $y (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3$ oppfyller differensiallikningen $y' = x$ .

FASIT

$y' = (\frac{1}{2} x^{2} + 3)' = \frac{1}{2} \cdot 2 x + 0 = x$

5. La $k \in ℝ$ . Vis at funksjonen $y$ gitt ved $y (x) = k x$ oppfyller differensiallikningen $\frac{1}{y} y' = \frac{1}{x}$ .

FASIT

$y (x) = k x$ og $y' (x) = k$

$\frac{1}{y} y' = \frac{1}{k x} k = \frac{1}{x}$

6. La $y' = x y + 3 y$ . Vis at likningen kan skrives på formen $p (y) y' = q (x)$ .

FASIT

$y' = x y + 3 y$

$y' = y (x + 3)$

$\frac{1}{y} y' = x + 3$

6. Kan likningen $y' = y + x$ skrives på formen $p (y) y' = q (x)$ ?

FASIT

Nei.

Ingen manipulasjoner av likningen vil gjøre at vi kan få det på denne formen. I siden "første ordens lineære differensiallikninger" vil du lære å løse slike likninger.

7. Løs den separable differensiallikningen $\frac{1}{y} y' = x + 3$ .

FASIT

$y (x) = C e^{\frac{1}{2} x^{2} + 3 x}$

Løsningsforslag:

$\frac{1}{y} y' = x + 3$

$\int_{}^{} \frac{1}{y} dy = \int_{}^{} (x + 3) dx$

$\ln |y| = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C_{1}$

$y = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C_{1}}$

$y = e^{C_{1}} e^{\frac{1}{2} x^{2} + 3 x}$

$y (x) = C e^{\frac{1}{2} x^{2} + 3 x}$

8. La $C \in ℝ$ . Vis at funksjonene $y$ gitt ved $y (x) = C e^{\frac{1}{2} x^{2} + 3 x}$ oppfyller differensiallikningen i oppgave 7.

FASIT

$y (x) = C e^{\frac{1}{2} x^{2} + 3 x}$ og $y' (x) = (x + 3) C e^{\frac{1}{2} x^{2} + 3 x}$

$\frac{1}{y} y' = \frac{1}{C e^{\frac{1}{2} x^{2} + 3 x}} (x + 3) C e^{\frac{1}{2} x^{2} + 3 x} = x + 3$

9. Vis at funksjonen $y$ gitt ved $y (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ oppfyller differensiallikningen $y' = y (1 - y)$ .

FASIT

$y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ og $y' = \frac{e^{x} (1 + e^{x}) - e^{x} e^{x}}{(1 + e^{x})^{2}} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x})^{2}}$

$y (1 - y)$

$= \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} (1 - \frac{e^{x}}{1 + e^{x}})$

$= \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} - \frac{e^{2 x}}{(1 + e^{x})^{2}}$

$= \frac{e^{x} (1 + e^{x})}{(1 + e^{x})^{2}} - \frac{e^{2 x}}{(1 + e^{x})^{2}}$

$= \frac{e^{x}}{(1 + e^{x})^{2}}$

$= y'$

Del på Facebook

Del på Facebook

Matematikk for studenter

Difflikninger

Består av:

Separable differensiallikninger
Første ordens lineære differensiallikninger