Aritmetiske og geometriske rekker

Den første videoen forklarer aritmetiske rekker, mens videoen i en egen fane under tar for seg geometriske rekker.

MatRIC: Aritmetiske rekker

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Video II: Geometriske rekker

MatRIC: Geometrisk rekke

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Begreper

Sum

Resultatet av en addisjon.

Eksempel: 2 + 5 + 1 = 8, her kalles 8 for sum.

Sum

Grenseverdi

En uendelig tallfølge a₁, a₂, a₃, ...har grenseverdi A dersom vi kan få a_n så nær A vi vil ved å velge n stor nok.

Grenseverdi

Oppgaver

1. Hva kjennetegner en aritmetisk rekke?

FASIT

Differansen mellom to etterfølgende ledd er det samme for alle ledd.

2. Finn $S_{15}$ , summen av de femten første leddene i den aritmetiske rekken $\sum_{n = 1}^{\infty} 3 n$ .

FASIT

$S_{15} = 360$

Løsningsforslag:

Det første leddet, $a_{1}$ , er lik $3$ . Ledd nummer femten, $a_{15}$ , er lik $45$ . Antall ledd $n$ vi skal legge sammen, er lik $15$ .

$\frac{(a_{1} + a_{15}) \cdot n}{2} = \frac{(3 + 45) \cdot 15}{2} = 360$

3. Finn $S_{10}$ , summen av de ti første leddene i den aritmetiske rekken $\sum_{n = 0}^{\infty} 2 n + 70$ .

FASIT

$S_{10} = 790$

Løsningsforslag:

Det første leddet, $a_{1}$ , er lik $70$ . Ledd nummer ti, $a_{10}$ , er lik $88$ . Antall ledd $n$ vi skal legge sammen, er lik $10$ .

$\frac{(a_{1} + a_{10}) \cdot n}{2} = \frac{(70 + 88) \cdot 10}{2} = 790$

4. Hva kjennetegner en geometrisk rekke?

FASIT

Forholdet mellom to etterfølgende ledd er det samme for alle ledd.

5. Finn $S_{10}$ , summen av de ti første leddene i den geometriske rekken $\sum_{n = 0}^{\infty} 3^{n}$ .

FASIT

$29524$

Løsningsforslag:

Forholdet $k$ mellom to etterfølgende ledd er lik 3. Det første leddet, $a_{1}$ , er lik 1. Antall ledd $n$ vi skal legge sammen er $10$ . Det siste leddet, $a_{10}$ , er lik $3^{9}$ .

$a_{1} \cdot \frac{k^{(9 + 1)} - 1}{k - 1} = 1 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3 - 1} = 29524$

6. Finn $S_{6}$ , summen av de seks første leddene i den geometriske rekken $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}}$ .

FASIT

$S_{6} \approx 1, 498$

Løsningsforslag:

Forholdet $k$ mellom to etterfølgende ledd er lik $3^{- 1}$ . Det første leddet, $a_{1}$ , er lik $1$ . Antall ledd $n$ vi skal legge sammen er $6$ . Det siste leddet, $a_{6}$ , er lik $3^{- 5}$ .

$a_{1} \frac{k^{(5 + 1)} - 1}{k - 1} = 1 \cdot \frac{3^{- 6} - 1}{3^{- 1} - 1} = \frac{1 - \frac{1}{3^{6}}}{1 - \frac{1}{3}} \approx 1, 498$

Del på Facebook

Del på Facebook

Matematikk for studenter

Følger og rekker

Består av: