Følger og rekker

Videoen forklarer følger og rekker, og den sier noe om når disse konvergerer eller divergerer.

MatRIC: Følger og rekker

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Begreper

Konvergent tallfølge

En tallfølge konvergerer mot et tall k, hvis tallfølgen nærmer seg k som sin grense.

Eksempel: $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, . . . \frac{1}{i}, . . .$

Denne tallfølgen konvergerer mot 0, fordi tallene i følgen kommer nærmere og nærmere 0.

Konvergent følge

Konvergens

Konvergens betyr i matematikk å nærme seg en grense.

Se Konvergent tallfølge

Konvergens

Oppgaver

1. Hva er en følge?

FASIT

En (tall)følge er en sekvens av tall i en bestemt rekkefølge.

2. Hva er en rekke?

FASIT

En rekke er summen av tallene i en følge.

3. Vi har følgen

\{a_{n}\}

gitt ved

a_{n} = n^{- 2}

. Finn

a_{3}

FASIT

$a_{3} = \frac{1}{9}$

4. Vi har følgen

a_{n} = C \cdot 1^{n}

, der

C \in ℝ

. Finn

a_{5}

a_{500}

FASIT

$a_{5} = a_{500} = C$

5. Vi har følgen

b_{n} = (\frac{1}{2})^{n} + 3 \cdot (\frac{1}{4})^{n}

. Konvergerer følgen?

FASIT

Ja, $\lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$

6. La

C \in ℝ

. Vi har følgen

a_{n} = C \cdot 2^{- n} + 4 n

, og vet at

a_{0} = 3

. Bestem

C

FASIT

$C = 3$

7. Skriv ut de første fem leddene i den uendelige rekken

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

FASIT

$1$ , $1$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{6}$ og $\frac{1}{24}$

8. Skriv ut de første åtte leddene i rekken

\sum_{n = 0}^{\infty} \cos (n π)

FASIT

$1$ , $- 1$ , $1$ , $- 1$ , $1$ , $- 1$ , $1$ og $- 1$

9. Konvergerer rekken

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n}

FASIT

Nei, rekken divergerer. Vi ser at $\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 . . .$ . Denne rekken har ingen sum, og rekken er derfor divergent.

10. Regn ut

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!}

FASIT

$0$

11. Kan vi ut fra svaret i oppgave 10 avgjøre om rekken

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

konvergerer?

FASIT

Nei, vi kan ikke avgjøre dette bare basert på at $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} = 0$ .

Den vil faktisk konvergere, og med andre metoder går det an å vise at $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$ , Eulers tall!

Del på Facebook

Del på Facebook

Matematikk for studenter

Følger og rekker

Består av:

Følger og rekker
Aritmetiske og geometriske rekker