Å kombinere flere formler

For å få en god forståelse av et problem er det viktig å skissere problemet og sette opp de formlene som kan hjelpe med å forenkle problemet. Når vi har gjort dette, så kan vi løse problemer som kanskje var umulige før. Vi skal se på hvordan vi gjør dette under.

Bokhylle i globus

Vi vil lage en designerbokhylle som er plassert i en globus som kan åpnes opp. Vi får vite at bokhyllen har kvadratisk topp og bunn, og vi får vite volumet til bokhyllen. I tillegg får vi vite radiusen på globusen. Utifra dette skal vi finne hva høyden til bokhyllen må være slik at volumet av bokhyllen blir størst mulig. Radiusen på globusen er $50$ i lengde. Volumet av bokhyllen er gitt ved

$V_{\text{bokhylle}}=s^2\cdot h$,

hvor $s$ er lengden på sidene til toppen og bunnen av bokhyllen, og $h$ er høyden. Vi starter med å lage en skisse.

Vi vil at formelen,

$V_{\text{bokhylle}}=s^2\cdot h$,

skal bare ha høyden, $h$, på høyreside. Vi må bytte ut $s^2$ med noe annet. Utifra skissen ser vi at vi kan bruke Pytagoras læresetning, altså

${\text{katet}}^2+{\text{katet}}^2={\text{hypotenus}}^2$.

Den røde linjen er diagonalen på toppen av boksen som er en kvadrat. Så vi får et uttrykk for den røde linjen.

$$(\text{rød linje}{)}^2=(\frac{s}{2}{)}^2+(\frac{s}{2}{)}^2=\frac{s^2}{4}+\frac{s^2}{4}=\frac{s^2}{2}$$

Den røde linjen er da $\frac{s}{\sqrt{2}}$.

Vi kan nå bruke Pytagoras læresetning en gang til for å koble sammen lengdene i bokhyllen med radiusen av globusen. Fra sentrum av bokhyllen til det ene hjørne, er det $r$ i lengde, og fra sentrum av bokhyllen til toppen, er $\frac{h}{2}$ i lengde. Fra sentrum av toppen til det ene hjørne er den røde linjen som vi fant at hadde lengde $\frac{s}{\sqrt{2}}$. Vi bruker dette for å sette opp Pytagoras læresetning.

$$(\frac{h}{2}{)}^2+(\frac{s}{\sqrt{2}}{)}^2=r^2$$$$\frac{h^2}{4}+\frac{s^2}{2}=r^2$$$$\frac{s^2}{2}=r^2-\frac{h^2}{4}$$$$s^2=2r^2-\frac{h^2}{2}$$

Vi setter uttrykket for $s^2$ inn i

$V_{\text{bokhylle}}=s^2\cdot h$

og får

$V_{\text{bokhylle}}=(2r^2-\frac{h^2}{2})\cdot h$.

Vi vet at $r=50$ og får da

$$V_{\text{bokhylle}}=(5000-\frac{h^2}{2})h$$

For å finne hva $h$ må være for å få størst mulig volum for bokhyllen, må vi derivere utrykket og sette det lik null.

$$5000-\frac{3}{2}{h}^2=0$$

Vi løser dette med abc-formelen og får

$h_1=\frac{100}{\sqrt{3}}$ og $h_2=-\frac{100}{\sqrt{3}}$.

Bare $h_1$ er positiv, og dermed vet vi at dersom vi velger $h=\frac{100}{\sqrt{3}}\approx 57.73$ får vi størst mulig volum for bokhyllen når radius til globusen er $50$ i lengde.