Målingsforhold

Når vi regner med måleenheter er det viktig å gjøre fornuftige valg, slik at ikke tallene blir altfor store eller altfor små. Om vi skal måle avstanden fra Oslo til Trondheim er det en dårlig idé å bruke meter, da kommer vi til å få et utrolig stort tall. Vi kan heller bruke kilometer, som er definert til å være $1000$ meter. Om vi bruker denne måleenheten kommer tallet vi får til å være $1000$ ganger mindre enn om vi hadde brukt meter. Vi ser på noen eksempler fra hverdagen.

Oppskrift for mange

Skolen din skal organisere et arrangement, og din klasse har fått ansvar for å lage sjokoladekaker til arrangementet. På oppskriften til sjokoladekaken står det at dere trenger $400$ gram sukker for en sjokoladekake til $8$ personer. Det kommer $200$ personer til arrangementet, og læreren deres ber dere regne ut hvor mye sukker skolen må kjøpe.

Vi vet at vi trenger $400$ gram sukker for $8$ personer. Da kan vi regne ut hvor mange gram sukker vi trenger per person. Siden $400:8=50$, trenger vi $50$ gram sukker per person. Vi vet at det kommer $200$ personer til arrangementet, så vi trenger $200$ ganger så mye sukker som dette, det vil si $200\cdot 50$ gram sukker. Regner vi ut $200\cdot 50$ får vi $10000$, ti tusen gram! Vi vil ikke jobbe med så store tall, så vi bytter måleenhet. Vi bruker heller kilogram, som er definert til å være tusen gram. Da får vi at vi trenger $10$ kilogram sukker for å lage kake til alle som kommer på arrangementet.

Fart, tid og avstand

En bil kjører med samme fart hele tiden. På $3$ minutter har bilen kjørt $4$ kilometer. Vi vil finne ut hvor lenge det tar for bilen å kjøre $100$ kilometer.

Vi finner først ut hvor lang tid bilen bruker på å kjøre $1$ kilometer. Siden bilen bruker $3$ minutter på å kjøre $4$ kilometer, kommer det til å ta $\frac{3}{4}=0,75$ minutter å kjøre $1$ kilometer. Da kan vi multiplisere $0,75$ med $100$ for å finne ut hvor lang tid bilen bruker på å kjøre $100$ kilometer: $0,75\cdot 100=75.$ Dermed tar det $75$ minutter for bilen å kjøre $100$ kilometer. Vi kan skrive dette om til timer og minutter: vi vet at det er $60$ minutter i en time. Siden $75=60+15$, betyr det at det tar bilen $1$ time og $15$ minutter å kjøre $100$ kilometer. Nå bruker vi to måleenheter på en gang: timer og minutter. Om vi kun vil bruke timer, må vi finne ut hvor mange timer det er i $15$ minutter. Siden det er $60$ minutter i en time, er $15$ minutter $15:60=0,25$ timer. Dermed tar det bilen $1+0,25=1,25$ timer å kjøre $100$ kilometer.

Saft og vann

Vi får middagsbesøk og skal i den anledning lage $10$ liter saft. På flasken står det "Blandingsforhold: $1:5$". Med dette menes det at om vi tar en viss mengde ren saft fra flasken, trenger vi fem ganger så mye vann for å blande den ut. Da kan vi finne ut hvor mye ren saft fra flasken vi trenger: om vi tar $1$ liter ren saft må vi blande det med $5$ liter vann. Da får vi totalt $6$ liter saft. Om vi vil ha $10$ liter saft kan vi finne ut hvor mye ren saft vi trenger ved å dividere med $6$: $$\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.$$ Dermed trenger vi $\frac{5}{3}$, fem tredjedeler liter ren saft fra flasken for å $10$ liter saft. Vi kan sette prøve på svaret vårt ved å sjekke at dette gir $10$ liter saft: vi skal blande $\frac{5}{3}$ liter ren saft med fem ganger så mye vann, det vil si $5\cdot \frac{5}{3}=\frac{25}{3}\text{liter vann}$ skal legges til. Om vi legger disse sammen får vi $\frac{5}{3} \text{liter ren saft} +\frac{25}{3} \text{liter vann}=\frac{30}{3} \text{liter saft}=10 \text{liter saft}.$

La oss spleise

Petter, Nils og Anders skal dele på å kjøpe bananer som koster $18$ kroner, men de skal dele summen på følgende måte $2:3:4$. Dette betyr at for hver andre krone Petter betaler skal Anders betale tre kroner og Nils skal betale fire kroner. To kroner for Petter svarer til tre kroner for Anders, som igjen svarer til fire kroner for Nils. Siden $2+3+4=9$, har vi delt inn de $18$ kronene i $9$ deler, hvor hver del er på $\frac{18}{9}=2$ kroner. Petter skal betale to av disse delene, så han skal betale fire kroner. Anders skal betale tre av disse delene, så han skal betale seks kroner. Nils skal betale fire av delene, så han skal betale åtte kroner.

Vi kan gjøre oppgaven ovenfor på en annen måte. De avtaler at for hver krone Petter betaler skal Nils betale to, mens Anders skal betale gjennomsnittet av det Petter og Nils betaler. Vi skriver $P$ for antall kroner Petter betaler, $N$ for Nils of $A$ for Anders. Siden Nils betaler to kroner for hver krone Petter betaler, kommer Nils til å betale dobbelt så mye som Petter. Da er $N=2P$. Siden Anders skal betale gjennomsnittet av det Nils og Petter betaler, er $A=\frac{N+P}{2}.$ Men vi vet at $N=2P$, slik at $$A=\frac{2P+P}{2}=\frac{3P}{2}.$$ Vi vet at de til sammen skal betale $18$ kroner, så da er $$N+P+A=18\text{kroner}.$$ Men vi har klart å finne andre uttrykk for $N$ og $A$, så vi kan sette disse inn i uttrykket: $$2P+P+\frac{3P}{2}=3P+\frac{3P}{2}=\frac{9P}{2}=18\text{kroner}.$$ Om vi multipliserer med to på begge sider får vi $9P=36\text{ kroner}.$ Om vi dividerer med $9$ på begge sider får vi $P=4\text{ kroner}.$ Da har vi funnet ut at Petter skal betale $4$ kroner. Nils skal betale dobbelt så mye, så kan skal betale $8$ kroner. Siden Anders skal betale gjennomsnittet av det Nils og Petter betaler, skal Nils betale $\frac{4+8}{2}=6\text{ kroner}.$

Del regningen

En gruppe på ni personer går ut for å spise middag. Gruppen består av familien Pettersen på tre personer, familien Olsen på fem personer og vennen deres Karl. Hver person bestiller det samme, og de får en felles regning på $900$ kroner. Da kan vi finne ut hvor mye hver av familiene og Karl må betale, om de deler regningen likt. Siden det er $9$ personer i gruppen, har hver person spist for $\frac{900}{9}=100$ kroner. Da kan vi med en gang si at Karl skal betale $100$ kroner. Familien Pettersen er på tre personer, så de må betale for tre personer: $300$ kroner. Familien Olsen må da betale for fem personer, altså $500$ kroner.

Turutgifter

Vennegjengen Tor, Pia, Astrid og Hans skal kjøre fra Trondheim til Oslo for å hente vennen Ali. Tor leier en bil, og de avtaler at Pia, Astrid og Hans skal betale for drivstoff, siden Tor betaler leien for bilen. Det er $500$ kilometer fra Oslo til Trondheim, og drivstoff koster $15$ kroner per mil. Vi vil finne ut hvor mye Pia, Astrid og Hans betaler.

Vi vet at det er $10$ kilometer i en mil, og dermed er det $\frac{500}{10}=50$ kilometer fra Trondheim til Oslo. Dermed koster turen $50\cdot 15=750$ kroner i drivstoff. Dette skal deles likt tre personer, så hver person skal betale $\frac{750}{3}=250\text{ kroner}.$ Men når de endelig kommer til Oslo finner Astrid ut at banken hennes er nede, slik at hun ikke får tatt ut penger. Da tilbyr Hans seg å betale for Astrid. Pia skal ikke betale noe mer, så Hans betaler for to personer. Da det for hver av de tre personene koster $250$ kroner, må Hans nå betale $500$ kroner. Pia betaler fortsatt bare $250$. Vi kan også si at forholdet mellom det Pia og Hans betaler er $1:2$, det vil si at for hver krone Pia betaler, betaler Hans to kroner, en for seg selv og en for Astrid.

De møter Ali i Oslo og alle fem kjører sammen til Trondheim. Ali vil være med å betale for hjemturen, og banken til Astrid er fortsatt nede, så Hans tilbyr seg å betale for hjemturen til Astrid også. Da kan vi finne ut hvor mye hver av dem skal betale for hjemturen. Det koster fortsatt $750$ kroner i drivstoff, men denne gangen skal dette deles på fire personer, det vil si at hver person skal i utgangspunktet betale $\frac{750}{4}=187,5\text{ kroner.}$ Dette blir summen for Ali og Pia. Siden Hans skal betale for både seg selv og Astrid, må han betale $2\cdot 187,5=375$ kroner. Nå er forholdet mellom det Ali, Pia og Hans betaler $1:1:2$, for hver krone Ali betaler kommer Pia også til å betale en krone, mens Hans betaler to: en for Astrid og en for seg selv.