Logaritmelikninger

Du har kanskje allerede sett likninger på formen $a^x=b$. Slike likninger kalles eksponentiallikninger. Disse bruker vi gjerne logaritmer til å løse. Nå skal vi se på likninger som inneholder enten den Briggske eller naturlige logaritmen til den ukjente, såkalte logaritmelikninger.

Eksempel 1

La oss løse likningen $\log x^2=8$.

Vi anvender regelen $\log x^a=a\log x$, og merker at vi kan skrive om likningen til

$2\log x=8$

og ved å dele på $2$ har vi at

$\log x=4$

Nå anvender vi definisjonen av den Briggske logaritmen, ${10}^{\log x}=x$ for å konkludere med at

${10}^{\log x}={10}^4$

$x={10}^4=10000$.
 

NB! Vi er vant til at andregradsuttrykk har to løsninger, så hvorfor får vi bare èn løsning her? Dette kommer av at logaritmen kun er definert for positive verdier av $x$. Vi mistet en løsning ved å bruke logaritmeregelen $\log x^2=2\log x$. Om vi ønsker å finne alle løsningene kan vi gjøre dette direkte fra definisjonen ${10}^{\log x^2}=x^2={10}^8.$ Dermed har vi løsningene $x=\pm 10^4$.

Eksempel 2

Vi vil løse likningen $\log x^2+\log 5x+6=\log x^4$.

Vi anvender først logaritmereglene for å skrive uttrykket som

$2\log x+\log 5+\log x+6=4\log x$

og flytter om på faktorene

$\log x=6+\log 5.$

Dermed anvender vi definisjonen av logaritmen til å få løsningen

$x={10}^{6+\log 5}={10}^6{10}^{\log 5}=5\cdot {10}^6.$
 

Finner løsningen direkte ved bruk av definisjonen:

Venstresiden av likningen kan skrives som

${10}^{\log x^2}{10}^{\log 5x}{10}^6={10}^6{x}^{2}5x$

Høyresiden av likningen kan skrivs som

${10}^{\log x^4}=x^4$

Da har vi

${10}^6{x}^{2}5x=x^4$

Om vi antar at $x\ne 0$ ($x=0$ er en løsning til uttrykket ovenfor, men $\log x$ er ikke definert for $x=0$) kan vi dele på $x^2$ og få

$5\cdot {10}^{6}x=x^2$

og vi ser at eneste gjenværende løsning er $5\cdot {10}^6.$

Eksempel 3

Vi vil løse likningen $\ln x^2+\ln 5x+6=\ln x^4.$

Vi merker at likningen er identisk med de to siste eksemplene, bare at vi har byttet ut $\log$ med $\ln$. Vi anvender først logaritmereglene for å skrive uttrykket som

$2\ln x+\ln 5+\ln x+6=4\ln x$

og flytter om på faktorene

$\ln x=6+\ln 5$.

Dermed anvender vi definisjonen av logaritmen til å få løsningen

$x=e^{6+\ln 5}=e^6{e}^{\ln 5}=5e^6.$

Vi ser at vi løser likningene på akkurat samme måte, uavhengig om vi jobber med  $\log$ eller $\ln$. Men legg merke til at vi får ikke identiske svar!

Eksempel 4

En nasjon har kommet frem til at befolkningsveksten i landet kan modelleres ved funksjonen

$f\left(x\right)=13\cdot {10}^6\cdot \log x^2$

hvor $x$ er antall år og $f\left(x\right)$ er størrelsen på befolkningen. Når er befolkningen på $26$ millioner?

Vi må løse likningen

$13\cdot {10}^6\cdot \log x^2=26\cdot {10}^6$

Vi dividerer begge sider av likningen først med $13\cdot {10}^6$ og får

$\log x^2=2$

Vi anvender definisjonen av logaritmen og får at

${10}^{\log x^2}=x^2={10}^2=100.$

Dermed har vi løsningene

$x=\pm 10.$

Vi forkaster den negative løsningen og kommer frem til at det tar $10$ år før befolkningen er på $26$ millioner.