Hint:
Lag en tabell med cellenummer og antall fangevoktere som besøker denne cellen. Ser du et mønster? Hva heter gruppen av cellenummerne som er ulåst til slutt? Hva kjennetegner denne tallgruppen?
Løsning:
Om en celle er låst eller ulåst etter fangevokternes siste runde, avhenger av hvor mange fangevoktere besøkte akkurat den cellen. Til og begynne med er alle cellene låst. Den første fangevokteren vil låse opp alle cellene. Den andre fangevokteren besøker cellene som er delelige på 2 (har 2 som faktor). Dette forteller oss at antallet fangevoktere som besøker en celle, avhenger av cellenummeret og de faktorene dette tallet har.
Ethvert cellenummer x der x går fra 1 til og med 50 kan faktoriseres på et gitt antall måter. For eksempel har 10 faktorene 1, 2, 5 og 10. Dette betyr at cellen 10 vil får besøk av vaktene 1, 2, 5 og 10. Derfor vil nøkkelen bli vridd antall ganger som er partall og cellen vil være låst. Men cellen 4 har faktorene 1, 2 og 4, odde antall faktorer. Derfor vil cellen bli besøkt av fangevoktere 1, 2 og 4. Hvis den første vakten åpner døren, vil fangevokteren 2 låse den og den siste fangevokteren 4 vil åpne den igjen. Fangen i cellen 4 vil rømme. Du kan lage en tabell og se om du finner et mønster.
Hvis vi ser etter mønster, finner vi at cellen som har et odde antall faktorer er de som forblir åpne. Tallene mellom 1 og 50 som har odde antall faktorer vil du kjenne igjen som kvadrattallene. Dette er de eneste tallene som har én faktorisering med odde antall faktorer. Kvadrattallene mellom 1 og 50 er 1, 4, 9, 16, 25, 36, og 49.
Dørene som står åpne blir altså . Til sammen rømmer 7 fanger.
Selvfølgelig er ikke slutten av denne historien lykkelig. Fangene vil bli tatt og sendt tilbake til fengselet. Fordi kriminalitet lønner seg ikke.