Arkimedes' beregning av kulas volum

Hvordan beregnet Arkimedes kulas volum?

Arkimedes beregnet på en finurlig måte volumet av en kule. Her gjengir vi hans argument. Vi antar at vi kjenner volumet av en sylinder og volumet av en kjegle.

Hans argument har med likevekt å gjøre. Vi henger opp en sylinder, en kule og en kjegle slik figuren viser. Sylinderen har radius og høyde lik R og det samme for kjeglen, mens kula har diameter R, dvs. radius $\frac{R}{2}$. Avstanden ut fra sylinderen til det punktet der opphenget til kula og kjeglen er plassert er også R. Alle legemene har for enkelthet skyld egenvekt 1.

Arkimedes argument er todelt, den ene delen går ut på å vise at figuren balanserer, mens den andre delen beregner volumet av kula når vi antar at vi har vist at systemet balanserer.

Vi begynner med det siste. Volumet av kula setter vi til V,volumet av kjeglen til K og
volumet av sylinderen S. Vi vet at

$S=\pi R^2\cdot R$

og

$K=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot R$

Siden systemet er i likevekt og må momentet (kraft ganger arm) til kula og kjeglen,
gitt ved

$(V+K)\cdot R$

være det samme som momentet til sylinderen. Vi kan regne som om hele volumet til
sylinderen er plassert i tyngdepunktet, altså blir momentet

$S\cdot \frac{R}{2}$
Setter vi disse to uttrykkene til å være like får vi

$V=\frac{1}{6}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{R}{2}\right)}^3$dvs. volumet av en kule med radius$\frac{R}{2}$.

For å vise at systemet er i likevekt trenger vi en mer skjematisk figur.

Vi har kuttet ut tynne skiver av de tre legemene, i avstand x fra toppen for kulen og kjeglen, og i samme avstand x fra balansesenteret for sylinderen. Vi lar alle de tynne skivene ha tykkelse s og antar at vi kan betrakte dem som sylindriske skiver, med høyde s. Skivene er markert på figuren med svarte bånd.

Volumet av skivene finner vi som følger: Siden høyden og radien i kjeglen er like, er toppvinkelen rett. Det betyr at radius i sirkelen som ligger x under toppen selv er x, og 
volumet av den tynne skiva er

$\pi x^2\cdot s$
På kula bruker vi pytagoras på trekanten med grunnlinje langs det svarte båndet og det tredje hjørnet i origo. Hypotenusen er x, den vertikale kateten er$x-\frac{R}{2}$ og vi får at radius i den aktuelle sirkelskiva er

$\pi ({\left(\frac{R}{2}\right)}^2-(x-{\left(\frac{R}{2}\right)}^2\left)\right)=\pi (-x^2+xR)$

Det gir volum av sirkelskiva

undefined0

For skiva på sylinderen har vi volum

$\pi R^2\cdot s$

Dette gir balanselikningen
Høyre Side:

$x\cdot \pi R^{2}s$

Venstre Side:

$R\cdot (\pi x^{2}s+\pi (-x^2+xR\left)s\right)$

En enkel utregning viser at HS er lik VS og vi har balanse i figuren.