Blandingsforhold i saft, og endring når man tilsetter mer

Dette er en oppgave fra en gammel mattetentamen:

Hanne har en flaske saft som skal blandes i forhold 1:5.

a) Hvor mye ferdigblandet saft får hun når hun begynner med 1,5 dl ublandet saft?

b) Lars synes saften er for svak og vil blande den slik at blandingsforholdet er 1:4. Hvor mye ublandet saft må han tilsette 4,8 dl av den saften som Hanne allerede har blandet?

A er ikke noe problem, men jeg lurer på hvordan jeg skal regne ut B?

a) Forholdet ublandet saft til vann er 1:5 deler, altså vil 1/6 være ublandet saft og 5/6 være vann. Når vi har 1,5 dl ublandet saft må vi tilsette 5 ganger så mye vann, det vil si$5\cdot 1.5=7.5$ dl vann.$7.5+1.5=9$, så den totale blandingen vil bestå av 9 dl væske.

b) Vi vet at 1/6 av blandingen består av ublandet saft, så det vil være$\frac{1}{6}\cdot 4.8dl=0.8dl$ ublandet saft i blandingen Lars starter med. Lars vil legge til$x$ dl ublandet saft slik at forholdet blir 1:4, det vil si at 1/5 er ublandet saft, og 4/5 er vann. I den nye blandingen til Lars vil ublandet saft utgjøre$0.8+x$ dl, og totalen vil utgjøre$4.8+x$ dl. Vi har altså forholdet mellom ublandet og total saft på to måter (alle tall er i dl, utelater benevningen fra beregningen):

$\frac{0.8+x}{4.8+x}=\frac{1}{5}$. Vi løser denne likningen for$x$:

$0.8+x=\frac{4.8+x}{5}$,

$x-\frac{x}{5}=0.96-0.8$,

$x=\frac{5\cdot 0.16}{4}=0.2$, så vi må altså tilsette 0,2 dl.

Vi ser at hvis vi tilsetter 0,2 dl ublandet saft til 4,8 dl saftblanding får vi totalt 5 dl saft, hvorav 0,8 dl + 0,2 dl = 1 dl er ublandet saft. Vi ser altså at dette er det riktige forholdet.