Brus i 3 forskjellige flaskestørrelser

I butikken kan Lise kjøpe brus i tre forskjellige flaskestørrelser: 1,5 liter, 0,5 liter og 0,37 liter. Hun kjøper i alt 6 flasker, og når hun regner etter blir det totalt omtrent 3,74 liter brus. Hvor mange flasker av hver størrelse kjøper hun?

Dette er en oppgavetype som er vanskelig fordi vi nødvendigvis må ha ikkenegative, heltallige svar. Vi lar $x$ være antall halvannenlitersflasker, $y$ antall halvlitersflasker, og $z$ antall flasker på $0,37$ liter. Vi vet at det er seks flasker totalt, altså at

$x+y+z=6$.

Vi vet også at det er tilsammen $3,74$ liter:

$1,5x+0,5y+0,37z=3,74$.

Her har vi altså to likninger, med tre ukjente. Dette er generelt sett ikke nok, men vi har egentlig mer informasjon. Vi ser at hvis vi kjøper 3 eller flere halvannenlitersflasker får vi minst 4,5 liter brus, så $x$ må ligge mellom 0 og 2: $0\le x\le 2$. De to andre tallene må ligge mellom 0 og 6, for det er ikke flere enn seks flasker. En måte å løse dette på er å prøve alle mulighetene. Det er 3 mulige valg av $x$, og 7 av de to andre, så vi får $3\cdot 7\cdot 7=147$ tilfeller å sjekke. Det er litt mange, men heldigvis vet vi mer.

$x$ og $y$ kan bare bidra med 5 eller 0 i første siffer etter komma i det totale antallet liter. Derfor må $0,37$-litersflaskens literbidrag, $0,37z$, ha enten 2 ($2+5=7$) eller 7 i det første sifferet etter komma, så svaret kan ha 7 i det første sifferet etter komma. Ved å prøve de 7 mulige verdiene for z får vi at $z$ er enten 2 eller 6. Om z er 6 er alle flaskene i størrelse $0,37$ liter, og da får vi 2,2 liter totalt, som er for lite. Dermed må vi ha $z=2$. Dette kan vi bruke til å redusere likningssystemet vårt til

(i) $x+y=4$,

(ii) $1.5x+0.5y=3$.

Vi har nå like mange likninger som ukjente, og kan løse systemet. Det gjør vi på vanlig måte (Ta en titt i spalten til høyre for flere spørsmål om likningssystemer), og finner at $y=3$, $x=1$. Ved innsetting ser vi at disse tallene gir korrekt mengde brus:

$1,5\cdot 1+0,5\cdot 3+0,37\cdot 2=3,74$.

Lise kjøper altså en halvannenlitersflaske, tre halvlitersflasker og to $0,37$-litersflasker.