Hva er derivasjon?

Hvordan forklarer man hva det vil si å derivere? Hva er det man er ute etter når man deriverer?

Farten. Farten er det man er ute etter når man deriverer en funksjon. Ikke gjennomsnittsfarten over tid, men en slags "momentan fart", farten i øyeblikket. Tegner du kurven til, for eksempel, en bil (som vi tenker oss beveger seg i en rett linje, for enkelhets skyld) i et koordinatsystem med tid langs $x$-aksen og vei langs $y$-aksen er gjennomsnittsfartene sekantene. Farten i hvert øyeblikk, eller tidspunkt, er tangenten, også kalt den deriverte.

Den deriverte av en funksjon av en variabel er stigningstallet til tangenten til grafen som funksjon av variabelen. Tenk på det slik: I hvert punkt har grafen en tangent, som varierer med variabelen. Dermed varierer tangentens stigningstall med variabelen, og dermed er også den deriverte en funksjon av samme variabel. I tilfellet over er det tangenten til grafen til posisjonsfunksjonen.

Helt presist kan vi kalle variabelen $t$, funksjonen er da $f\left(t\right)$. Da er gjennomsnittsendringen over en tidsperiode forholdet mellom endring i $f$ og endring i $t$, som ofte skrives $\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }t}$. Bokstaven $\mathrm{\Delta }$ er gresk og uttales "delta", den brukes i slike sammenhenger som "endring i". Dermed er $\mathrm{\Delta }t$ en eller annen størrelse som angir hvor mye $t$ endres. Uttrykket over er dermed

$\frac{f(t+\mathrm{\Delta }t)-f\left(t\right)}{(t+\mathrm{\Delta }t)-t}=\frac{f(t+\mathrm{\Delta }t)-f\left(t\right)}{\mathrm{\Delta }t}$.

Den deriverte er gitt som grensen når $\mathrm{\Delta }t$ går mot null. Merk at da får vi divisjon på null, og må bruke grenseregningsteknikker for å finne ut hva det blir. Vi skriver

$\frac{df}{dt}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\left(\frac{f(t+\mathrm{\Delta }t)-f\left(t\right)}{\mathrm{\Delta }t}\right)$.

Prøv å tegne en funksjon for deg selv og se hvordan sekantene, altså gjennomsnittsfartene, går mot tangenten, eller farten i noen enkle tilfeller. For eksempel kan du prøve på $x^2$, som har $2x$ som derivert.

Generelt bruker vi ikke definisjonen så mye i praktisk regning - den er ikke lett anvendelig. Vi bruker heller allerede kjente deriverte og regler for å sette dem sammen for å finne deriverte til nye funksjoner.