Likebente trekanter i en firkant

Dette er en litt vrien oppgave fra 1MX-boken min:

Jeg skal ved regning finne ut/bevise at linjestykket$DB$ blir delt i tre like deler av henholdsvis$AF$ og$AE$, ved punktene$G$ og$H$. Jeg ser jo det, men jeg klarer ikke vise det matematisk...

Her gjelder det å bruke det du vet om likebeinte og formlike trekanter, samsvarende vinkler og toppvinkler.

Vi vet at$\mathrm{\Delta }DHF\cong \mathrm{\Delta }BEG$, så da er

$\frac{BG}{DH}=\frac{BE}{DF}=\frac{20}{20}=1$, som gir oss at$BG=DH$.

Vi vet også at$\mathrm{\Delta }ABG\cong \mathrm{\Delta }GEM$, og fra det slutter vi at

$\frac{EM}{AB}=\frac{GM}{BG}$, som gir at$GM=BG\cdot \frac{EM}{AB}=BG\cdot \frac{20}{40}$, og da er$GM=\frac{BG}{2}$.

Siden$\mathrm{\Lambda }AGH$ er en likebenet trekant er$GM=MH$, og$GH=GM+MH=2GM=BG$ ved det vi så over. Så nå vet vi at$BG=GH=HD$, og dermed er linjen$BD$ delt i tre like store deler.