Derivasjon

Lurer på hvordan jeg skal derivere dette?

Gittfunksjonenf(x,y)=x4+2y2−2xy.
a) Bestem de partielt deriverte av første og andre orden.
b) Finn de stasjonære punktene til f(x,y).
c) Klassifisér de stasjonære punktene til f(x,y).

a) Når vi partiellderiverer betyr det at vi deriverer med hensyn på én av variablene mens vi betrakter de andre variablene som konstanter. Dermed er ikke denne operasjonen noe vanskeligere enn derivasjon slik du er vant med fra før. Det finnes flere typer notasjon for dette. F.eks. betegner $f_x$ og $\frac{\delta f}{\delta x}$ førsteordens partialderivat mhp. x, mens $f_{xy}$ og $\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x\delta y}$ betegner andreordens partialderivat, én gang mhp. x og én gang mhp. y. Jeg velger å bruke den første notasjonstypen her. Merk for øvrig at vi alltid har $f_{xy}=f_{yx}$. Det har med andre ord ingenting å si om vi først deriverer mhp. x og deretter mhp. y, eller motsatt.

Så til selve derivasjonen av $f\left(x,y\right)=x^4+2y^2-2xy$.

$f_x=4x^3-2y$

$f_y=4y-2x$

$f_{xx}=12x^2$

$f_{yy}=4$

$f_{xy}=f_{yx}=-2$

Nå har vi det vi trenger for å gå løs på neste oppgave.

b) f har en stasjonært punkt i (x₀, y₀) dersom både  $f_x=0$ og $f_y=0$ i dette punktet. Stasjonære punkter klassifiseres som lokale maksimum, lokale minimum eller sadelpunkter. Det kommer vi tilbake til i oppgave c.

For å finne de stasjonære punktene til en funksjon f, løser vi likningen $f_x=0$ for å finne y som en funksjon av x. Dette setter vi inn i likningen $f_y=0$ for å finne x-verdiene til de stasjonære punktene. De tilhørende y-verdiene finner vi ved å sette disse x-verdiene inn i likningen $f_x=0$. Dette tilsvarer innsettingsmetoden for å løse likningssett med to ukjente, slik du er godt vant med.

$\left(i\right) f_x=0 \Rightarrow 4x^3-2y=0 \Rightarrow y=2x^3$

$\left(ii\right) f_y=0 \Rightarrow 4y-2x=0 \stackrel{\left(i\right)}{\Rightarrow } 4\cdot 2x^3-2x=0 \Rightarrow 2x\left(4x^2-1\right)=0 \Rightarrow$

$x=0 \vee x=\frac{1}{2} \vee x=-\frac{1}{2}$

Disse tre verdiene setter vi inn i (i) for å finne de tilhørende y-verdiene.

$x=0$ gir $y=2\cdot 0^3=0$

$x=\frac{1}{2}$ gir $y=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{4}$

$x=-\frac{1}{2}$ gir $y=2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{4}$

Altså er de stasjonære punktene $\left(0,0\right)$ og $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ og $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$. 

c) For å klassifisere disse punktene, må vi regne ut verdien av $f_{xx}\cdot f_{yy}-{\left(f_{xy}\right)}^2$ i hvert punkt.

Dersom svaret er negativt, har vi et sadelpunkt.

Dersom svaret er positivt og $f_{xx}>0$ har vi et lokalt minimum.

Dersom svaret er positivt og $f_{xx}<0$ har vi et lokalt maksimum.

Dersom svaret er 0, gir testen ingen konklusjon.

Hos oss er $f_{xx}\cdot f_{yy}-{\left(f_{xy}\right)}^2=12x^2\cdot 4-{\left(-2\right)}^2=48x^2-4$.

Ser nå på hvert av de tre stasjonære punktene.

$\left(0,0\right)$ gir $48\cdot 0^2-4=-4$. Dette er altså et sadelpunkt.

$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ gir $48\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4=8$ . I dette punktet er $f_{xx}=12\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=3>0$, så vi har et lokalt minimum.

$\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$ gir $48\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-4=8$. I dette punktet er $f_{xx}=12\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=3>0$, så dette er også et lokalt minimum.

Hvis du tegner denne grafen i GeoGebra eller tilsvarende, får i 3D-grafikkfeltet opp en graf som underbygger det vi nettopp fant. To minimum og ett sadelpunkt.