Figurtall

Hei, jeg har tentamen i morgen og jeg kom over en oppgave jeg aldri har fått før. Fint om jeg får svar så fort som mulig.
Oppgaven er om figurtall og den
Oppgave 16 (5p)
Figurene viser de fire første figurtallene i et mønster
a Bestem figurtall nr. 1, 2 og 3 og 4. Kall dem f1, f2, f3 og f4.
Svar= f1=1, f2=3, f3=7, f4=15
b Beskriv med ord hvordan du kan finne det neste figurtallet
Svar = siden dette ligner på et tre, så legger man til 2 greiner på hver grein
når du kjenner det forrige.
c Lag en følgeformel for figurtall fn.

Det er her jeg stopper opp. Jeg har sett på fasiten, men skjønner fremdeles ikke. Det står: fn= fn-1+2^n-1
Kan dere forklare meg kjapt?

d Bestem figurtall nr. 6.
e Finn en direkteformel for figurtall fn.
Trenger også hjelp med å finne ut dette.

Hei, håper du forsatt er våken!

Oppgave c.

Vi må se på tallfølgen 1, 3, 7, 15. Hva er det egentlig vi gjør med ett tall for å komme til det neste tallet? Jo, vi legger til to greiner på hver av greinene vi har, som du har sagt. Hvor mange greiner tilsvarer det?

Når n=1 har vi bare 1 grein.

Når n=2 legger vi til 2¹=2 greiner og får 1+2=3 greiner til sammen.

Når n=3 legger vi til 2²=4 greiner og får 3+4=7 greiner til sammen.

Når n=4 legger vi til 2³=8 greiner og får 7+8=15 greiner til sammen.

For hvert trinn, når vi skal finne antall greiner til sammen f_n, tar vi totalt antall greiner i forrige trinn f_n-1 og legger til de nye greinene 2ⁿ. Altså er formelen f_n = f_n-1+2ⁿ.

Oppgave d

Uten en direkteformel for fn, må vi bare jobbe oss videre fra der vi slapp hvis vi skal finne figurtall nummer 6, altså f₆.

Når n=5 legger vi til 2⁴=16 greiner og får 15+16=31 greiner til sammen.

Når n=6 legger vi til 2⁵=32 greiner og får 31+32=63 greiner til sammen.

Figurtall nummer 6 er altså 63.

Oppgave e

For å finne en direkteformel må vi gjenkjenne at de to tallene vi summerer hver gang er nesten like. Det ene tallet er en potens av 2, og det andre tallet er det samme, minus 1.

Se på de seks tallene vi har til nå. Basert på det vi nettopp sa, kan de skrives slik:

f₁ = 1 = (2⁰-1)+2⁰ = 2⁰+2⁰-1 = 2·2⁰-1 = 2¹-1

f₂ = 3 = 1+2 = (2¹-1)+2¹ = 2¹+2¹-1 = 2·2¹-1 = 2²-1

f₃ = 7 = 3+4 = (2²-1)+2² = 2²+2²-1 = 2·2²-1 = 2³-1

f₄ = 15 = 7+8 = (2³-1)+2³ = 2³+2³-1 = 2·2³-1 = 2⁴-1

f₅ = 31 = 15+16 = (2⁴-1)+2⁴ = 2⁴+2⁴-1 = 2·2⁴-1 = 2⁵-1

f₆ = 63 = 31+32 = (2⁵-1)+2⁵ = 2⁵+2⁵-1 = 2·2⁵-1 = 2⁶-1

Du ser at den generelle formelen blir

f_n = 2ⁿ-1