Integrasjon og volum

Hvem andre figurer enn kjegle er d mest bra å beregne me integral mtp volum? En har jo og en grei formel for kjegle. Fint å se notasjon og metoder :)

Vi kan i praksis bruke integrasjon til å finne volumet av alle figurer som kan framkomme ved å rotere en graf rundt x-aksen. Blant dem er jo kjegla, som du nevner, men også kula. Da starter vi med en graf som er en halvsirkel med radius r, som starter i x=-r og treffer x-aksen igjen i x=r. Med andre ord er sentrum i origo.

Formelen for en sirkelkurve der sentrum for sirkelen er i origo og radius er r, er r² = y²+x². Skal i stedet sentrum for sirkelen være i punktet (x₀, y₀), er formelen r² = (y-y₀)²+(x-x₀)². Uansett:

Vi har altså r² = y²+x² som gir y² = r²-x² ⇒ y = √(r²-x²). (Vi setter ikke ± foran rottegnet fordi vi er bare interessert i den grafen som tegner de postive verdiene.) Formelen for volumet av ei kule vil framkomme dersom vi dreier denne grafen 360° om x-aksen. Vi vet at formelen for volumet av et omdreiningslegeme er π∫(f(x))² dx, så

$\pi {\int }_{-r}^{ r}{\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_{-r}^{ r}\left(r^2-x^2\right)dx=\pi {\left[r^{2}x-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_{-r}^r$

$=\pi \left(r^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-r\right)}^3\right)=\frac{4}{3}\pi r^3$