Finne funksjonsuttrykket til en graf

Hvordan finne funksjonsuttrykket til en graf som er tegnet allerede.

Hei! Det er ikke nødvendigvis så lett. Hvis vi vet/ser hva slags funksjonstype det er snakk om, så er vi iallfall igang. For å finne funksjonsuttrykket helt presist, er vi avhengige av å finne punkter på grafen som er lett å lese av. Noen ganger har vi det, andre ganger ikke. Til slutt kommer det an på hvilket utsnitt av grafen vi ser i koordinatsystemet, men jeg skal anta at alt vi trenger ligger innenfor utsnittet vårt.

For en lineær funksjon y = ax+b er det nok å finne to punkter på grafen. Vi bruker topunktsformelen for å finne a og deretter ettpunktsformelen for å finne b. (b er også skjæring med y-aksen, så vi kan lese det av der også.)

En andregradsfunksjon y = ax²+bx+c kan ha to, ett eller ingen nullpunkter. Dersom vi har to nullpunkter x₁ og x₂ kan vi skrive funksjonsuttrykket på formen y = a(x-x₁)(x-x₂). Med nullpunktene lest av og satt inn i formelen, kan vi plukke ett hvilket som helst annet punkt på grafen og sette inn x- og y-verdiene, slik at vi får en likning med a som ukjent. Da finner vi til slutt funksjonsuttrykket.

Det blir en veldig lik prosedyre om vi har bare ett nullpunkt. Vi bare setter det samme tallet inn for både x₁ og x₂.

Dersom andregradsfunksjonen ikke har noen nullpunkter, kan vi finne funksjonsuttrykket ved å lese av tre av punktene på grafen, og sette dem inn i y = ax²+bx+c. Da får vi et likningssett med tre ukjente a, b og c. Denne metoden kan vi selvfølgelig bruke i de to andre tilfellene også.

For polynomfunksjoner av høyere grad, trenger vi flere punkter for å finne funksjonsuttrykket. En tredjegradsfunksjon er unikt bestemt ved fire punkter. En fjerdegradsfunksjon er unikt bestemt ved fem punkter, osv.

For en eksponentialfunksjon y = a·b^x kan vi lese av a som skjæringen med y-aksen. Deretter plukker vi et annet punkt på grafen som vi setter inn, og så løser vi eksponentiallikningen vi får for å finne b.

For en logaritmefunksjon y = log_bx der b er grunntallet for logaritmen, finner vi b ved å plukke et punkt på grafen som ikke er x=1. Akkurat nå sitter jeg og ser på en graf der punktet (12, 2.5) ser ut til å være en god tilnærming til et punkt på grafen. Siden y = log_bx, så er y^b = x. Jeg setter inn koordinatene og får likningen 2.5^b = 12 som gir b = 12^1/2.5 = 2.7. Altså er dette sannsynligvis grafen til y = ln x.

Der har du iallfall framgangsmåten for noen av funksjonene vi møter oftest :) Du kan selvfølgelig også lese av punkter og bruke regresjon for å finne uttrykket du leter etter.