Derivasjon med kjerneregelen

Hei! Hvordan deriverer man funksjonen: $f\left(x\right)={(x+3)}^5$? Jeg aner ikke hvordan...

La oss se nærmere på funksjonen din. Hva gjør denne funksjonen? Bestem deg for en verdi av x og bruk funksjonen. Hva skjer med $x$? Jo, først legges det 3 til $x$ og deretter opphøyes resultatet i 5, enig? Det betyr at vi uttrykket ditt består av to funksjoner. La oss kalle funksjonen som legger 3 til $x$ for $u\left(x\right)=x+3$. Denne funksjonen kan vi kalle for en kjerne (siden den andre funksjonen gjør noe med denne kjernen). Den andre funksjonen er da en funksjon av $u$ - den tar kjernen og opphøyer det i 5 -. Denne funksjonen kan vi derfor skrive som $f\left(u\right)=u^5$.

Når vi skal derivere en funksjon med en kjerne, bruker vi kjerneregelen. Den sier at dersom du har en funksjon som kan skrives om til $f\left(u\right)$ der $u\left(x\right)$ er kjernen, så er $f^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(u\right)u^{\prime }\left(x\right)$. Det den sier er at vi deriverer funksjonen med hensyn på kjernen og multipliserer med den deriverte til kjernen. La oss nå bruke oppgaven din og ta en ting av gangen.

La oss først derivere funksjonen $f\left(u\right)$ med hensyn på $u$:

$f^{\prime }\left(u\right)=5u^4$

La oss nå derivere kjernen $u\left(x\right)$ med hensyn på $x$:

 $u^{\prime }\left(x\right)=1$ 

Nå kan vi skrive regelen på nytt og sette inn for  $f^{\prime }\left(u\right)$ og $u^{\prime }\left(x\right)$:

 $f^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(u\right)u^{\prime }\left(x\right)=5u^4\cdot 1=5{(x+3)}^4$

Det siste vi gjorde er å sette tilbake $x+3$ i stedet for $u$ og vi er ferdige. Nå har vi forklart fremgangsmåten skritt for skritt, men så fort du har gjort noen oppgaver der du bruker kjerneregelen, vil både gjenkjenningen av uttrykk som krever kjerneregel og selve derivasjonen gå mye raskere.