Lengden av en rull

Finnes det en formel for å regne ut lengden av en rull? Husker at vi målte tepperuller på denne måten før, men husker ikke formelen.

Spennende spørsmål med praktisk bruksverdi! Det finnes en slik formel, og formelen gir oss en tilnærming til lengden av teppet. Jo tynnere teppet er, desto mer nøyaktig er tilnærmingen.

Formelen er

 $L=\frac{\pi }{4T}\left(D^2-d^2\right)$ 

der L er lengden til teppet, T er tykkelsen til teppet, D er den ytre diameteren til rullen og d er den indre diameteren til rullen (for en dorull vil D være diameteren til rullen med papir på, mens d tilsvarer diameteren til selve papprullen).

Hvordan kommer vi frem til denne formelen?

For å gjøre det enkelt visuelt, forestiller vi oss en toalettrull. Vi har en liten rull inne som vi kan si har radius $r$ og så har vi en radius $R$ som er for hele rullen. Videre har rullen en bredde $B$. For å finne volumet av toalettrullen må vi først beregne volumet av hele rullen og deretter trekke fra volumet av den tomme rullen i midten. Toalettrullen kan vi se på som en sylinder og derfor bruker vi formelen for volum av en sylinder, $V=\pi r^2\cdot h$. I vårt tilfellet er høyden lik bredden $B$.

Volumet av hele rullen inkludert midten: $V_{hel}=\pi R^2\cdot h=\pi R^2\cdot B$

Volumet av den tomme rullen i midten: $V_{tom}=\pi r^2\cdot h=\pi r^2\cdot B$

Volumet av toalettpapiret på en rull: $V_{hel }-V_{tom}=\pi R^{2}B-\pi r^{2}B=\pi \left(R^2-r^2\right)B$

Vi kaller diameteren i den minste sirkelen for $d$ og derfor kan vi skrive $r=\frac{d}{2}$. På tilsvarende måte kan vi skrive $R=\frac{D}{2}$ når diameteren i den store sirkelen er lik $D.$ Vi kan derfor skrive volumet av papiret på denne rullen som

$V=\pi \left(R^2-r^2\right)B=\pi \left({\left(\frac{D}{2}\right)}^2-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\right)B=\pi \left(\frac{D^2}{4}-\frac{d^2}{4}\right)B=\frac{\pi }{4}\left(D^2-d^2\right)B$ 

Hvis vi ruller ut hele toalettrullen, vil vi få et rektangel (som riktig nok er veldig lang). Rektangelet vil ha samme bredde som toalettrullen. Det vil også ha en lengde som vi kaller for $L$ og en tykkelse (tykkelse av papiret) som vi kaller for $T$. 

Volumet av rektangelet: $V_{rektangel}=B\cdot L\cdot T$

Om papiret er rullet på en rulle eller rullet helt ut, er volumet det samme og derfor er

$\frac{\pi }{4}\left(D^2-d^2\right)B=B\cdot L\cdot T$

Vi dividerer begge sider med $B\cdot T$ og får derfor at

$L=\frac{\pi }{4T}\left(D^2-d^2\right)$